Question

【題目】 已知：在正方形ABCD中，點H在對角線BD上運動（不與B，D重合）連接AH，過H點作HP⊥AH于H交直線CD于點P，作HQ⊥BD于H交直線CD于點Q．

（1）當點H在對角線BD上運動到圖1位置時，則CQ與PD的數量關系是______．

（2）當H點運動到圖2所示位置時

①依據題意補全圖形．

②上述結論還成立嗎？若成立，請證明．若不成立，請說明理由．

（3）若正方形邊長為，∠PHD=30°，直接寫出PC長．

Answer 1

【答案】（1）相等；（2）①見解析，②結論成立，見解析；（3）-1或+1

【解析】

（1）證△ADH≌△PQH得AD=PQ=CD，據此可得CQ=PD；

（2）①根據題意補全圖形即可；②連接HC，先證△ADH≌△CDH得∠1=∠2，再證△CQH≌△PDH得出答案；

（3）分以上圖1、圖2中的兩種情況，先求出∠DAP=∠PHD=30°，再由在Rt△ADP中AD=CD=得出PD=ADtan30°=1，從而得解．

解：（1）相等

∵∠AHP=∠DHQ=90°，

∴∠AHD=∠PHQ，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ADB=∠BDC=∠PQH=45°，AD=CD，

則DH=QH，

∴△ADH≌△PQH（ASA），

∴AD=PQ=CD，

∴CQ=PD，

故答案為：相等．

（2）①依題意補全如圖所示，

②結論成立，證明如下：

證明：連接HC，

∵正方形ABCD，BD為對角線，

∴∠5=45°，

∵AD=CD、DH=DH，

∴△ADH≌△CDH（SAS），

∴∠1=∠2，

又∵QH⊥BD，∠5=45°，

∴∠4=45°，

∴∠4=∠5，

∴QH=HD，∠HQC=∠HDP=135°，

∵AH⊥HP，AD⊥DP，

∴∠AHP=∠ADP=90°，

又∵∠AOH=∠DOP，

∴∠1=∠3，

∴∠2=∠3，

∴△CQH≌△PDH（AAS）

∴CQ=PD．

（3）如圖2，連接AP，

由（1）知△ADH≌△PQH，

∴AH=PH，

∵∠AHP=90°，

∴∠APH=45°，

又∠ADH=45°，∠PHD=30°，

∴∠DAP=∠PHD=30°，

在Rt△ADP中，∵AD=CD=，

∴PD=ADtan30°=1，

則CP=CD-PD=-1；

如圖3，連接AP，

同理可得PD=1，

則CP=+1，

綜上，PC的長度為-1或+1．