Question

如圖，用一塊長為50cm、寬為30cm的長方形鐵片制作一個無蓋的盒子，若在鐵片的四個角截去四個相同的小正方形，設小正方形的邊長為xcm．

（1）底面的長AB=cm，寬BC=cm（用含x的代數式表示）

（2）當做成盒子的底面積為300cm²時，求該盒子的容積．

（3）該盒子的側面積S是否存在最大的情況？若存在，求出x的值及最大值是多少？若不存在，說明理由．

．

Answer 1

 解：（1）∵用一塊長為50cm、寬為30cm的長方形鐵片制作一個無蓋的盒子，在鐵片的四個角截去四個相同的小正方形，

設小正方形的邊長為xcm，

∴底面的長AB=（50﹣2x）cm，寬BC=（30﹣2x）cm，

故答案為：50﹣2x，30﹣2x；

（2）依題意，得：

（50﹣2x）（30﹣2x）=300

整理，得：x²﹣40x+300=0

解得：x₁=10，x₂=30（不符合題意，舍去）

當x₁=10時，盒子容積=（50﹣20）（30﹣20）×10=3000（cm³）；

（3）盒子的側面積為：

S=2x（50﹣2x）+2x（30﹣2x）

=100x﹣4x²+60x﹣4x²

=﹣8x²+160x=﹣8（x²﹣20x）

=﹣8[（x﹣10）²﹣100]

=﹣8（x﹣10）²+800

∵﹣8（x﹣10）²≤0，

∴﹣8（x﹣10）²+800≤800，

∴當x=10時，S有最大值，最大值為800．