Question

【題目】（1）學校“圓周率”數學社團遇到這樣一個題目：

如圖1，在中，點在線段上， ，求的長.

經過社團成員討論發現，過點作，交的延長線于點，通過構造就可以解決問題（如圖2）. 請回答：_______，______；

（2）請參考以上解決思路，解決問題：

如圖3，在四邊形中，對角線與相交于點，，，，，求的長及四邊形的面積.

Answer 1

【答案】（1），10；（2），.

【解析】

（1）根據平行線的性質可得出∠ADB=∠OAC=75°，結合∠BOD=∠COA可得出△BOD∽△COA，利用相似三角形的性質可求出OD的值，進而可得出AD的值，由三角形內角和定理可得出∠ABD=75°=∠ADB，由等角對等邊可得出AB=AD=10，此題得解；（2）過點B作BE∥AD交AC于點E，同（1）可得出AE=10，在Rt△AEB中，利用勾股定理可求出BE的長度，再在Rt△CAD中，利用勾股定理可求出DC的長，此題得解；四邊形ABCD的面積等于△ABC和△ADC的面積之和，利用以求的數據求解即可.

解：（1）∵BD∥AC，

∴∠ADB=∠OAC=75°．

∵∠BOD=∠COA，

∴△BOD∽△COA，

∴ ．

又∵AO=8，

∴OD=AO=2，

∴AD=AO+OD=10．

∵∠BAD=30°，∠ADB=75°，

∴∠ABD=180°-∠BAD-∠ADB=75°=∠ADB，

∴AB=AD=10．

故答案為：，10．

（2）過點B作BE∥AD交AC于點E，如圖所示．

∵AC⊥AD，BE∥AD，

∴∠DAC=∠BEA=90°．

∵∠AOD=∠EOB，

∴△AOD∽△EOB，

∴

∵BO：OD=1：4，

∴．

∵AO=8，

∴EO=2，

∴AE=10．

∵∠ABC=∠ACB=75°，

∴∠BAC=30°，AB=AC，

又∵

∴AB=2BE．

在Rt△AEB中，BE2+AE2=AB2，即102+BE2=（2BE）2，

解得：BE=，

∴AB=AC=，AD=．

在Rt△CAD中，AC2+AD2=CD2，
∴CD= ．

=.