Question

【題目】如圖，是的直徑，點是延長線上一點，切于點，，是半徑的倍．

求的半徑；

如圖，弦，動點從出發沿直徑向運動的過程中，圖中陰影部分的面積是否發生變化，若發生變化，請你說明理由；若不發生變化，請你求出陰影部分的面積；

如圖，動點從出發，在上按逆時針方向向運動．連接，過作的垂線，與的延長線交于點，當點運動到什么位置時，取到最大值？求此時動點所經過的弧長．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）；（3）．

【解析】

（1）由題意，CD是⊙O半徑的倍，CA=1，在直角△CDO中，根據勾股定理CD2+OD2=CO2，代入即可求出；

（2）由DE∥CB，可知，動點Q從A出發沿直徑AB向B運動的過程中，△DEQ的面積不變，則陰影部分的面積不變；當點Q運動到O點時，則∠DOE=60°，即可求出陰影部分的面積；

（3）如圖，連接AD、BD，當DM過圓心O時，DN取到最大值；易證△ADB∽△MDN，由已知，可求得，AD=1，BD=，所以，DN=DM，此時，∠AOM=120°，即可求得的長.

解：∵切于點，

∴三角形是直角三角形，

∵，是半徑的倍，

∴在直角中，，

則，，

∴；

∵，

∴動點從出發沿直徑向運動的過程中，的底不變，底上的高不變，

∴的面積不變，則陰影部分的面積不變；

由，，

∴，則，

∴，

∵，

∴

∴，

∴；

如圖，連接、，

∴，又，

∴，

又，，

∴，

∴，

∴，

∴當為最大值，即過圓心時，取到最大值；

∵，

∴，

∴ ．