Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知正比例函數y= -2x和反比例函數的圖象交于A（a,-4）,B兩點。過原點O的另一條直線l與雙曲線交于點P,Q兩點（P點在第二象限），若以點A,B,P,Q為頂點的四邊形面積為24，則點P的坐標是_______

Answer 1

【答案】P（﹣4，2）或P（﹣1，8）．

【解析】

根據題意先求出點A（2，﹣4），利用原點對稱求出B（﹣2，4），再把A代入代入反比例函數得出解析式，利用原點對稱得出四邊形AQBP是平行四邊形，S△POB＝S平行四邊形AQBP×＝×24＝6，設點P的橫坐標為m（m＜0且m≠﹣2），得到P的坐標，根據雙曲線的性質得到S△POM＝S△BON＝4，接著再分情況討論：若m＜﹣2時，可得P的坐標為（﹣4，2）；若﹣2＜m＜0時，可得P的坐標為（﹣1，8）.

解：∵點A在正比例函數y＝﹣2x上，

∴把y＝﹣4代入正比例函數y＝﹣2x，

解得x＝2，∴點A（2，﹣4），

∵點A與B關于原點對稱，

∴B點坐標為（﹣2，4），

把點A（2，﹣4）代入反比例函數 ，得k＝﹣8，

∴反比例函數為y＝﹣，

∵反比例函數圖象是關于原點O的中心對稱圖形，

∴OP＝OQ，OA＝OB，

∴四邊形AQBP是平行四邊形，

∴S△POB＝S平行四邊形AQBP×＝×24＝6，

設點P的橫坐標為m（m＜0且m≠﹣2），

得P（m，﹣），

過點P、B分別做x軸的垂線，垂足為M、N，

∵點P、B在雙曲線上，

∴S△POM＝S△BON＝4，

若m＜﹣2，如圖1，

∵S△POM+S梯形PMNB＝S△POB+S△POM，

∴S梯形PMNB＝S△POB＝6．

∴（4﹣）（﹣2﹣m）＝6．

∴m1＝﹣4，m2＝1（舍去），

∴P（﹣4，2）；

若﹣2＜m＜0，如圖2，

∵S△POM+S梯形BNMP＝S△BOP+S△BON，

∴S梯形BNMP＝S△POB＝6．

∴（4﹣）（m+2）＝6，

解得m1＝﹣1，m2＝4（舍去），

∴P（﹣1，8）．

∴點P的坐標是P（﹣4，2）或P（﹣1，8），

故答案為P（﹣4，2）或P（﹣1，8）．