Question

【題目】已知，拋物線 y＝x2+bx+c 與 y 軸交于點 C，與 x 軸交于點 A 和點B（其中點 A 在 y 軸左側，點 B 在 y 軸右側），對稱軸直線 x＝交 x 軸于點 H．

(1)若拋物線y＝x2+bx+c經過點（﹣4，6），求拋物線的解析式；

(2)如圖1，∠ACB＝90°，點P是拋物線y＝x2+bx+c上位于y軸右側的動點，且 S△ABP＝S△ABC，求點 P 的坐標；

(3)如圖 2，過點A作AQ∥BC交拋物線于點Q，若點Q的縱坐標為﹣c， 求點Q的坐標．

Answer 1

【答案】(1)y＝x2-x-8；(2)點 P 的坐標為（3，﹣2），（，2）；(3)點 Q 的坐標是（7，9）．

【解析】

(1)根據對稱軸和點的坐標即可求出函數的解析式；

（2）連接 CH，利用交點式和韋達定理求出CH2及AB2

, 在 Rt△OHC 中，由勾股定理求出c的值，再分情況討論即可.

（3）分別利用直線 BC和直線AC聯系二次函數解析式消去y得到兩個含k，c的方程，即可解出k，c的值，得出Q點坐標.

(1)∵拋物線 y＝x2+bx+c 的對稱軸是直線 x＝，

∴﹣＝﹣b＝，

∴b＝﹣．

又拋物線 y＝ x2+bx+c 經過點（﹣4，6），

∴6＝×（﹣4）2﹣ ×（﹣4）+c， 解得 c＝﹣8．

故該拋物線解析式是 y ＝x2﹣ x﹣8；

如圖 1，連接 CH，

∵對稱軸直線 x＝交 x 軸于點 H，

∴AH＝BH，OH＝ ． 又∵∠ACB＝90°，

∴CH＝ AB，

設 A，B 兩點的坐標分別為（x1，0），（x2，0），

則 x1，x2 是方程x2﹣ x+c＝0 的兩根，

∴x1+x2＝3，x1x2＝2c，

∴AB2＝（x2﹣x1）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝9﹣8c，

∴CH2＝ AB2＝ ﹣2c．

在 Rt△OHC 中，由勾股定理得：CH2＝OH2+OC2，即：c2+2c＝0， 解得：c＝﹣2 或 c＝0（舍去）．

∵S△ABP＝S△ABC，

∴|yP|＝|yC|＝2．

①當 yP＝﹣2 時，點 P 與點 C 關于直線 x＝對稱，

∴P（3，﹣2）．

②當 yP＝2 時，x2﹣ x﹣2＝2， 解得：x＝．

又∵點 P 在 y 軸的右側，

∴x＝ ，

∴點 P 的坐標為（ ，2）．綜上所述，符合條件的點 P 的坐標為（3，﹣2），（，2）．

如圖 2，設直線 BC 的解析式為：y＝kx+c（k≠0），聯立直線 BC 與拋物線的解析式，得 ，

消去 y，得x2﹣ x+c＝kx+c， 解得：xC＝0，xB＝3+2k，

由(2)知 xA+xB＝3，

∴xA＝3﹣xB，

∴xA＝﹣2k．

把點 B 的坐標（3+2k，0）代入 y＝kx+c，得 c＝﹣k（3+2k）＝﹣3k﹣2k2．

∵AQ∥BC，

則設 AQ 的解析式為：y＝kx+m（k≠0）．聯立直線 AQ 與拋物線的解析式，得

消去 y，得x2﹣ x+c＝kx+m，

設點 A、Q 的橫坐標分別為 xA、xQ， 則 xA+xQ＝3+2k，

∵xA＝﹣2k，

∴xQ＝3+4k．

又∵yQ＝﹣ c，c＝﹣3k﹣2k2．

則有：﹣（﹣3k﹣2k2）＝（3+4k）2﹣（3+4k）+（﹣3k﹣2k2），解得：k1＝0（舍去），k2＝1，

∴c＝﹣3k﹣2k2＝﹣5，

∴點 Q 的坐標是（7，9）．