Question

22、已知：如圖，矩形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC與BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)O關(guān)于直線(xiàn)AD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是E，連接AE、DE．
（1）試判斷四邊形AODE的形狀，不必說(shuō)明理由；
（2）請(qǐng)你連接EB、EC，并證明EB=EC．

Answer 1

分析：（1）利用對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，又因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，兩個(gè)結(jié)論聯(lián)合起來(lái)，可知四邊形AODE是菱形，（2）先證出∠EAB=∠EDC，再證明△EAB≌△EDC，從而得出EB=EC．

解答：解：（1）∵點(diǎn)O和點(diǎn)E關(guān)于直線(xiàn)AD對(duì)稱(chēng)，
∴AOD≌△AED；
∴OA=OE  OD=DE；
∵有矩形ABCD，
∴OA=OD；
∴OA=OD=DE=EA；
∴四邊形AODE是菱形．

（2）∵四邊形AODE是菱形，
∴AE=ED；
∴∠EAD=∠EDA；
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠BAD=∠CDA=90°；
∴∠EAD+∠BAD=∠EDA+∠CDA；
∴∠EAB=∠EDC；
∴△EAB≌△EDC；
∴EB=EC．

點(diǎn)評(píng)：本題利用對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)（對(duì)稱(chēng)圖形全等）和矩形的性質(zhì)（矩形的對(duì)角線(xiàn)互相平分），以及全等三角形的判定和性質(zhì)．