Question

19、已知，如圖，矩形ABCD中，E是CD的中點(diǎn)，連接BE并延長(zhǎng)BE交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接AE．
（1）求證：AD=DF；
（2）若AD=3，AE⊥BE，求AB的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)E是CD的中點(diǎn)，BC∥AF可確定EF=EB，從而得出△EBC≌△EFD，繼而得出結(jié)論．
（2）由（1）得出的EF=EB，結(jié)合AE⊥BE可得AB=AF，從而根據(jù)AD=3可得出答案．

解答：解：（1）∵BC∥AF，E是CD的中點(diǎn)，
∴E是線段FB的中點(diǎn)，
∴FE=EB，
又∠FED=∠BEC，DE=EC，
∴△EBC≌△EFD，
∴AD=DF．
（2）由（1）得：EF=EB，
又AE⊥BE，
∴AB=AF（中垂線的性質(zhì)）
∴AB=AF=2AD=6．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的性質(zhì)及勾股定理的知識(shí)，有一定的難度，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意得出E是FB的中點(diǎn)，這是本題的突破口．