Question

已知，如圖，矩形ABCD中，AD=6，DC=7，菱形EFGH的三個頂點E，G，H分別在矩形ABCD的邊AB，CD，DA上，AH=2，連接CF．
（1）若DG=2，求證四邊形EFGH為正方形；
（2）若DG=6，求△FCG的面積；
（3）當DG為何值時，△FCG的面積最�。�

Answer 1

分析：（1）由于四邊形ABCD為矩形，四邊形HEFG為菱形，那么∠D=∠A=90°，HG=HE，而AH=DG=2，易證△AHE≌△DGH，從而有∠DHG=∠HEA，等量代換可得∠AHE+∠DHG=90°，易證四邊形HEFG為正方形；
（2）過F作FM⊥DC，交DC延長線于M，連接GE，由于AB∥CD，可得∠AEG=∠MGE，同理有∠HEG=∠FGE，利用等式性質有∠AEH=∠MGF，再結合∠A=∠M=90°，HE=FG，可證△AHE≌△MFG，從而有FM=HA=2（即無論菱形EFGH如何變化，點F到直線CD的距離始終為定值2），進而可求三角形面積；
（3）先設DG=x，由第（2）小題得，S_△FCG=7-x，在△AHE中，AE≤AB=7，利用勾股定理可得HE²≤53，在Rt△DHG中，再利用勾股定理可得x²+16≤53，進而可求x≤

37

，從而可得當x=

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時，△GCF的面積最�。�

解答：解：（1）∵四邊形ABCD為矩形，四邊形HEFG為菱形，
∴∠D=∠A=90°，HG=HE，又AH=DG=2，
∴Rt△AHE≌Rt△DGH（HL），
∴∠DHG=∠HEA，
∵∠AHE+∠HEA=90°，
∴∠AHE+∠DHG=90°，
∴∠EHG=90°，
∴四邊形HEFG為正方形；

（2）過F作FM⊥DC，交DC延長線于M，連接GE，
∵AB∥CD，
∴∠AEG=∠MGE，
∵HE∥GF，
∴∠HEG=∠FGE，
∴∠AEH=∠MGF，
在△AHE和△MFG中，∠A=∠M=90°，HE=FG，
∴△AHE≌△MFG，
∴FM=HA=2，即無論菱形EFGH如何變化，點F到直線CD的距離始終為定值2，
因此S△FCG=

1

2

×FM×GC=

1

2

×2×(7-6)=1；

（3）設DG=x，則由第（2）小題得，S_△FCG=7-x，在△AHE中，AE≤AB=7，
∴HE²≤53，
∴x²+16≤53，
∴x≤

37

，
∴S_△FCG的最小值為7-

37

，此時DG=

37

，
∴當DG=

37

時，△FCG的面積最小為（7-

37

）．

點評：本題考查了矩形、菱形的性質、全等三角形的判定和性質、勾股定理．解題的關鍵是作輔助線：過F作FM⊥DC，交DC延長線于M，連接GE，構造全等三角形和內錯角．