Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點．

（1）四邊形EFGH是怎樣的四邊形？證明你的結論．

（2）當四邊形ABCD的對角線AC、BD滿足條件　　　　時，四邊形EFGH是矩形．

（3）當四邊形ABCD的對角線AC、BD滿足條件　　　　時，四邊形EFGH是菱形．

Answer 1

【答案】（1）平行四邊形，證明見解析；（2）AC⊥BD；（3）AC=BD

【解析】

（1）根據三角形的中位線定理，可以證明所得四邊形的兩組對邊分別和兩條對角線平行，所得四邊形的兩組對邊分別是兩條對角線的一半，再根據平行四邊形的判定就可證明該四邊形是一個平行四邊形；

（2）在（1）的基礎上，所得四邊形要成為矩形，則需有一個角是直角，故對角線應滿足互相垂直；

（3）在（1）的基礎上，所得四邊形要成為菱形，則需有一組鄰邊相等，故對角線應滿足相等．

解：（1）∵E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA邊上的中點，
∴EF∥AC，EF=AC，FG∥BD，FG=BD，GH∥AC，GH=AC，EH∥BD，EH= BD．

∴EF∥HG，EF=GH，FG∥EH，FG=EH．

∴四邊形EFGH是平行四邊形；

（2）要使四邊形EFGH是矩形，則需EF⊥FG，由（1）得，只需AC⊥BD；

故答案為：AC⊥BD；

（3）要使四邊形EFGH是菱形，則需EF=FG，由（1）得，只需AC=BD；

故答案為：AC=BD．