Question

【題目】如圖（1），矩形OABC的邊OA、OC在坐標軸上，點B坐標為(5，4)，點P是射線BA上的一動點，把矩形OABC沿著CP折疊，點B落在點D處．

（1）當點C、D、A共線時，AD=　　　　；

（2）如圖（2），當點P與點A重合時，CD與x軸交于點E，過點E作EF⊥AC，交BC于點F，請判斷四邊形AECF的形狀，并說明理由；

（3）若點D正好落在x軸上，請直接寫出點P的坐標：　　　　．

Answer 1

【答案】（1）；（2）四邊形CEAF是菱形，見解析；（3）（5，）或（5，-6）

【解析】

（1）由翻折可以得到CD=CB=5，根據勾股定理可以求出AC=，點C、D、A共線時，可知AD=AC-CD=-5；

（2）根據對角線互相平分且垂直的四邊形是菱形，可得結論；
（3）分兩種情況：
①如圖3，點D在x軸正半軸上時，易得△PAD∽△DOC，列比例式可得結論；
②如圖4，當D在x軸的負半軸上時，易得△COD∽△DAP，同理可得結論．

解：（1）如圖1，∵矩形OABC，點B坐標為（5，4），

∴BC=5，AB=4，
由勾股定理得：AC=，
由折疊得：CD=BC=5，
當點C、D、A共線時，AD=AC-CD=，
故答案為：；

（2）如圖2，四邊形CEAF是菱形，

理由是：由折疊得：∠FCA=∠ECA，
∵AC⊥EF，
∴EG=FG，
∵CF∥AE，
∴∠FCA=∠EAC，
∵∠CGF=∠AGE，
∴△CGF≌△AGE，
∴AG=CG，
∴四邊形CEAF是菱形；

（3）分兩種情況：
①如圖3，點D在x軸正半軸上時，

在Rt△COD中，OC=4，CD=5，
∴OD=3，
∴AD=5-3=2，
∵∠PDC=90°，
易得△PAD∽△DOC，

②如圖4，當D在x軸的負半軸上時，

由勾股定理得：OD=3，
∵∠CDP=90°，
∴∠CDO+∠ODP=∠ODP+∠DPA=90°，
∴∠CDO=∠DPA，
∵∠DOC=∠DAP，
∴△COD∽△DAP，

綜上所述，點P的坐標為（5，）或（5，-6）．