Question

【題目】已知Rt△ABC中，AC=5，BC=12，∠ACB=90°，P是AB邊上的動點（與點A、B不重合），Q是BC邊上的動點（與點B、C不重合）

（1）如圖，當PQ∥AC，且Q為BC的中點時，求線段CP的長；

（2）當PQ與AC不平行時，△CPQ可能為直角三角形嗎？若有可能，請求出線段CQ的長的取值范圍；若不可能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析.

【解析】試題分析：

（1）由題意易得AB=13，由Q是BC中點，PQ∥AC可得點P是AB中點，從而可得CP=AB=；

（2）當AC與PQ不平行時，只有∠CPQ為直角，△CPQ才可能是直角三角形．根據圓中，直徑所對的圓周角是直角，以CQ為直徑作半圓D，當半圓D和直線AB有公共點時，點P運動到公共點處，∠PCQ就是直角；由此以CQ為直徑作半圓D，當半圓D與AB相切時，設切點為M，連接DM，則DM⊥AB，設CD=x，則CQ=2x，DM=x，DB=12﹣x；在Rt△DMB中，由DB2=DM2+MB2，結合已知條件建立關于x的方程即可解得x的值，從而可得對應的CQ的值，再結合只有當半圓D與直線AB有公共點時，∠PCQ才有可能是直角即可求得CQ的取值范圍.

試題解析：

（1）在Rt△ABC中∠ACB=90°，AC=5，BC=12，

∴AB=13；

∵Q是BC的中點，

∴CQ=QB；

又∵PQ∥AC，

∴AP=PB，即P是AB的中點，

∴Rt△ABC中，CP=．

（2）當AC與PQ不平行時，只有∠CPQ為直角，△CPQ才可能是直角三角形．

以CQ為直徑作半圓D，當半圓D與AB相切時，設切點為M，連接DM，則

DM⊥AB，且AC=AM=5，

∴MB=AB﹣AM=13﹣5=8；

設CD=x，則DM=x，DB=12﹣x；

在Rt△DMB中，DB2=DM2+MB2，

即（12﹣x）2=x2+82，

解之得x=，

∴CQ=2x=；

即當CQ=且點P運動到切點M位置時，△CPQ為直角三角形．

②當＜CQ＜12時，半圓D與直線AB有兩個交點，當點P運動到這兩個交點的位置時，△CPQ為直角三角形

③當0＜CQ＜時，半圓D與直線AB相離，即點P在AB邊上運動時，均在半圓D外，∠CPQ＜90°，此時△CPQ不可能為直角三角形．

∴當≤CQ＜12時，△CPQ可能為直角三角形．