Question

【題目】如圖，等腰三角形ABC內接于⊙O，CA＝CB，過點A作AE∥BC，交⊙O于點E，過點C作⊙O的切線交AE的延長線于點D，已知AB＝6，BE＝3．

（1）求證：四邊形ABCD為平行四邊形；

（2）延長AO交DC的延長線于點F，求AF的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）由題意連接CO并延長交AB于H，如圖1，利用切線的性質得OC⊥DC，再證明CO為AB的中垂線，則CO⊥AB，所以AB∥CD，然后根據平行四邊形的判定方法得到結論；

（2）根據題意利用平行線的性質得到∠DAC＝∠BCA，則＝，所以＝，于是得到CB＝CA＝BE＝3，利用垂徑定理得到AH＝3，則根據勾股定理可計算出CH＝9，設⊙O的半徑為r，則OH＝9﹣r，在Rt△OAH中利用（9﹣r）2+32＝r2得r＝5，然后證明△AOH～△FOC，利用相似比求出OF，從而得到AF的長．

解：（1）證明：連接CO并延長交AB于H，如圖1，

∵CD與⊙O相切于點C，

∴OC⊥DC，

∵OA＝OB，CA＝CB，

∴CO為AB的中垂線，

∴CO⊥AB，

∴AB∥CD，

∵AD∥BC，

∴四邊形ABCD為平行四邊形；

（2）解：如圖2，

∵AD∥BC，

∴∠DAC＝∠BCA，

∴＝，

∵，即＝，

∴CB＝CA＝BE＝3，

∵CH⊥AB，

∴AH＝BH＝AB＝3，

在Rt△ACH中，CH＝＝9，

設⊙O的半徑為r，則OH＝9﹣r，

在Rt△OAH中，（9﹣r）2+32＝r2，解得r＝5，

∴OH＝4，

∵AH∥CF，

∴△AOH～△FOC，

∴＝，即＝，

解得OF＝，

∴AF＝AO+OF＝5+＝．