Question

【題目】如圖，正方形ABCD的對角線AC⊥AE，射線EB交射線DC于點F，連結AF，若AF＝BF，AE＝4，則BE的長為_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

根據題意過點E作EH⊥AB于H，由勾股定理可求CF＝2BC，通過證明△BCF∽△EHB，可得BH＝2EH，由勾股定理可得EH，即可求BH的長，由勾股定理可求解．

解：如圖，過點E作EH⊥AB于H，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AB＝BC＝CD＝AD，∠CAB＝45°，AB∥CD，

∵BF2＝BC2+CF2，AF2＝AD2+DF2＝AD2+（DC+CF）2，且AF＝BF，

∴AD2+（DC+CF）2＝2（BC2+CF2），

∴CF＝2BC，

設AB＝BC＝CD＝AD＝a，則CF＝2a，

∵AB∥CD，

∴∠ABE＝∠CFB，且∠BCF＝∠BHE＝90°，

∴△BCF∽△EHB，

∴＝，

∴BH＝2EH，

∵AC⊥AE，∠CAB＝45°，

∴EH＝AH，

∵AH2+EH2＝AE2＝16，

∴EH＝AH＝2，

∴BH＝4，

∵BE2＝BH2+EH2＝32+8＝40，

∴BE＝，

故答案為：．