Question

【題目】若二次函數和的圖象關于原點成中心對稱，我們就稱其中一個函數是另一個函數的中心對稱函數，也稱函數和互為中心對稱函數．

求函數的中心對稱函數；

如圖，在平面直角坐標系xOy中，E，F兩點的坐標分別為，，二次函數的圖象經過點E和原點O，頂點為已知函數和互為中心對稱函數；

請在圖中作出二次函數的頂點作圖工具不限，并畫出函數的大致圖象；

當四邊形EPFQ是矩形時，請求出a的值；

已知二次函數和互為中心對稱函數，且的圖象經過的頂點當時，求代數式的最大值．

Answer 1

【答案】；畫圖見解析；a的值為；當時，有最大值，最大值為3．

【解析】

利用配方法得到，則此拋物線的頂點坐標為，利用中心對稱的性質得點關于原點對稱的點的坐標為，然后利用頂點式寫出函數的中心對稱函數解析式；

作P點關于原點的對稱點得到q點，然后大致畫出頂點為Q，經過原點和F點的拋物線；

利用矩形的性質得，則利用拋物線的對稱性得到，則可判定為等邊三角形，作于H，如圖，易得，，所以，設交點式，然后把P點坐標代入即可得到a的值；

把化為頂點式得到拋物線的頂點坐標為，利用關于原點對稱的點的坐標特征得到拋物線的頂點坐標為，再把代入得，所以，然后利用二次函數的性質解決問題．

，

此拋物線的頂點坐標為，

點關于原點對稱的點的坐標為，

函數的中心對稱函數為，即；

如圖，

四邊形EPFG為矩形，

，

而，

為等邊三角形，

作于H，如圖，

則，，

，

設二次函數的解析式為，

把代入得，解得，

即a的值為；

，

拋物線的頂點坐標為，

拋物線的頂點與拋物線的頂點關于原點對稱，

拋物線的頂點坐標為，

把代入得，解得，

，

當時，有最大值，最大值為3．