Question

【題目】如圖1，已知以AE為直徑的半圓圓心為O，半徑為5，矩形ABCD的頂點B在直徑AE上，頂點C 在半圓上，AB=8，點P為半圓上一點（不與A、E兩點重合）．

（1）矩形ABCD的邊BC的長為多少；

（2）將矩形沿直線AP折疊，點B落在點B′．

①點B′到直線AE的最大距離是多少；

②當點P與點C重合時，如圖2所示，AB′交DC于點M．

求證：四邊形AOCM是菱形，并通過證明判斷CB′與半圓的位置關系；

③當EB′∥BD時，直接寫出EB′的長為多少．

Answer 1

【答案】（1）4；（2）①8；②見解析；（3）滿足條件的EB′的長為4+2或4-2．

【解析】

（1）圖1中，在Rt△OBC中，求出BC即可；

（2）①圖1中，當點B′在直線AD上時，點B'到AE的距離最大，最大距離為8；②首先證明四邊形AOCM是平行四邊形，由OA=OC即可判定四邊形AOCM是菱形．只要證明∠OCB′=90°即可判定CB′與半圓相切；③圖3中，當EB′∥BD時，作AF⊥EB′于F．由△AEF∽△DBA，可得==，推出EF=4，AF=2，在Rt△AFB′中，FB′==2，即可推出EB′=4+2．圖4中，當EB′∥BD時，作AF⊥EB′于F，同法可求EB′．

（1）如圖1中，連接OC，

在Rt△BOC中，∵∠OBC=90°，OC=5，OB=3，

∴BC=；

（2）①如圖1中，當點B′在直線AD上時，點B'到AE的距離最大，最大距離為8．

②證明：

由折疊可知：∠OAC=∠MAC，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA，

∴∠OCA=∠MAC，

∴OC∥AM，

又∵CM∥OA，

∴四邊形AOCM是平行四邊形，

又∵OA=OC，

∴□AOCM是菱形；

結論：CB′與半圓相切，

理由：由折疊可知：∠ABˊC=∠ABC=90°，

∵OC∥AM，

∴∠ABˊC+∠BˊCO=180°，

∴∠BˊCO=90°，

∴CBˊ⊥OC，

∴CBˊ與半圓相切；

③如圖3中，當EB′∥BD時，作AF⊥EB′于F，

由△AEF∽△DBA，

∴，

∴EF=4，AF=2，

在Rt△AFB′中，FB′=，

∴EB′=4+2，

如圖4中，當EB′∥BD時，作AF⊥EB′于F，

同法可得EF=4，FB′=2，

∴EB′=4-2．

綜上所述，滿足條件的EB′的長為4+2或4-2．