Question

【題目】如圖，在△ABC中，D是BC的中點，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為點E、F，BE=CF.

(1)求證：△ABC是等腰三角形.

(2)判斷點D是否在∠BAC的角平分線上，并說明理由.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)點D在∠BAC的角平分線上.

【解析】

（1）利用“HL”證明△BDE和△CDF全等，再根據全等三角形對應角相等可得∠B=∠C，然后根據等角對等邊即可得證；

（2）根據△BDE≌△CDF可得DE=DF，即點D在∠BAC的平分線上，據此得證．

（1）證明：∵D是BC的中點，

∴BD=CD，

∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴∠BED=∠CFD=90°，

在Rt△BDE與Rt△CDF中，

∵BD=CD，BE=CF，

∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，

∴∠B=∠C，

∴AB=AC，

即△ABC是等腰三角形；

（2）點D在∠BAC的角平分線上.

理由如下：

由（1）可知：Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，

∴DE=DF，

又∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴點D在∠BAC的角平分線上.