Question

【題目】如圖，在中，，以為直徑的半圓與交于點，與交于點，連接，過點作，垂足為點．

求證：；

判斷與的位置關系，并說明理由；

若的直徑為，，求的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）與相切，理由詳見解析；（3）．

【解析】

（1）根據等腰三角形的性質，由AB=AC得到∠B=∠C，再根據圓內接四邊形的性質得∠CDE=∠B，則∠CDE=∠C，于是根據等腰三角形的判定即可得到DE=CE；

（2）如圖，連接AE、OE，根據圓周角定理，由AB為直徑得到∠AEB=90°，再根據等腰三角形的性質得BE=CE，于是可得到OE是△ABC的中位線，所以OE∥AC，由于EF⊥AC，則EF⊥OE，則根據切線的判定定理可判斷EF與⊙O相切；

（3）證明Rt△ABE∽Rt△ECF，利用相似比計算出CF=2，然后利用勾股定理計算EF的長．

（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C．

∵四邊形ABED內接于⊙O，∴∠CDE=∠B，∴∠CDE=∠C，∴DE=CE；

（2）EF與⊙O相切．理由如下：

如圖，連接AE、OE．

∵AB為直徑，∴∠AEB=90°．

∵AB=AC，∴BE=CE，即點E是BC的中點，∴OE是△ABC的中位線，∴OE∥AC．

∵EF⊥AC，∴EF⊥OE，∴EF與⊙O相切；

（3）∵AB=AC=18，BC=12，∴∠B=∠C，BE=CE=6，∴Rt△ABE∽Rt△ECF，∴，即，解得：CF=2．在Rt△CEF中，EF=．