Question

【題目】閱讀下面材料：

小明遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，在三角形內(nèi)取一點(diǎn)D，AD＝AC，∠CAD＝30°，求∠ADB．

小明通過(guò)探究發(fā)現(xiàn)，∠DAB＝∠DCB＝15°，BC＝AD，這樣就具備了一邊一角的圖形特征，他果斷延長(zhǎng)CD至點(diǎn)E，使CE＝AB，連接EB，造出全等三角形，使問(wèn)題得到解決．

（1）按照小明思路完成解答，求∠ADB；

（2）參考小明思考問(wèn)題的方法，解答下列問(wèn)題：

如圖2，△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D、E、F分別為BC、AC、AB上一點(diǎn)，連接DE，延長(zhǎng)FE、DF分別交BC、CA延長(zhǎng)線于點(diǎn)G、H，若∠DHC＝∠EDG＝2∠G．

①在圖中找出與∠DEC相等的角，并加以證明；

②若BG＝kCD，猜想DE與DG的數(shù)量關(guān)系并證明．

Answer 1

【答案】（1）135°;（2）①∠HDC＝∠DEC;②猜想DG＝kDE.

【解析】

（1）根據(jù)輔助線證得△DAB≌△BCE，則∠ADB＝∠CBE（還不能直接求得，考慮全等的其他等邊等角），∠ABD＝∠E，BD＝BE，得到∠BDE＝∠E＝∠ABD．考慮引入未知數(shù)，設(shè)∠CBD＝x，則∠E＝∠ABD＝∠BDE＝x+15°，利用∠ABC＝∠ABD+∠CBD求得x，再由周角求得結(jié)果．

（2）①∠DEC是△DEH的外角，等于∠DHC+∠HDE，而∠DHC＝∠EDG，等量代換得∠DEC＝∠EDG+∠HDE＝∠HDC．

②由條件DHC＝∠EDG＝2∠G，在FG上方構(gòu)造2∠G即∠FGM＝∠FGD，則∠EDG＝∠MGD，令M落在BA延長(zhǎng)線上，加上∠B＝∠ACB，即得△BGM∽△CDE，有=k．又通過(guò)三角形內(nèi)角和求得∠M＝∠HDC，證得△MFG≌△DFG，有MG＝DG，得證．

（1）延長(zhǎng)CD至點(diǎn)E，使CE＝AB，連接EB

∵，∠ACB＝90°，AC＝BC

∴∠CAB＝∠CBA＝45°

∵AD＝AC，∠CAD＝30°

∴BC＝AD，∠ACD＝∠ADC＝＝75°，∠DAB＝∠CAB﹣∠CAD＝15°

∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝15°

即∠DAB＝∠BCD

在△DAB與△BCE中，

∴△DAB≌△BCE（SAS）

∴∠ADB＝∠CBE，∠ABD＝∠E，BD＝BE

∴∠BDE＝∠E

設(shè)∠CBD＝x，則∠ABD＝45°﹣x，∠BDE＝∠BCD+∠CBD＝15°+x

∴∠ABD＝∠E＝∠BDE＝15°+x

∵∠ABC＝∠ABD+∠CBD

∴45°＝15°+x+x，得：x＝15°

∴∠CDB＝180°﹣∠BCD﹣∠CBD＝180°﹣15°﹣15°＝150°

∴∠ADB＝360°﹣∠ADC﹣∠CDB＝360°﹣75°﹣150°＝135°

（2）①∠HDC＝∠DEC，證明如下：

∵∠DHC＝∠EDG

∴∠HDC＝∠HDE+∠EDG＝∠HDE+∠DHC＝∠DEC

∴∠HDC＝∠DEC

②猜想DG＝kDE，證明如下：

在FG的上方作∠FGM＝∠FGD，使∠FGM的一邊與BA延長(zhǎng)線交于M

∵∠DHC＝∠EDG＝2∠FGD

∴∠DHC＝∠EDG＝∠MGD

∵AB＝AC

∴∠B＝∠ACB

∴∠M＝180°﹣∠B﹣∠MGD＝180°﹣∠ACB﹣∠EDC＝∠DEC

∴∠M＝∠HDC

在△MFG與△DFG中，

∴△MFG≌△DFG（AAS）

∴MG＝DG

∵∠B＝∠ACB，∠EDG＝∠MGD

∴△BGM∽△CDE

∴

∵BG＝kCD

∴=K

∴DG＝MG＝kDE