Question

【題目】如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E、F、G分別為邊AB、BC、AD上的中點(diǎn)，連接AF、DE交于點(diǎn)M，連接GM、CG，CG與DE交于點(diǎn)N，則結(jié)論①GM⊥CM；②CD＝DM；③四邊形AGCF是平行四邊形；④∠CMD＝∠AGM中正確的有（　　）個(gè)．

A. 1B. 2C. 3D. 4

Answer 1

【答案】B

【解析】

先根據(jù)正方形的性質(zhì)和中點(diǎn)的性質(zhì)判斷③正確，再根據(jù)SAS證出△ADE≌△BAF，得出∠AME＝90°，從而證出∠GND＝90°再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，得出DG=MG,，利用等腰三角形的三線合一，得出DN=MN，從而得出CG垂直平分DM，從而得出①②正確，再利用等腰三角形的性質(zhì)和四邊形的內(nèi)角和證明④不成立即可．

解：正方形ABCD中，AD=BC

∵點(diǎn)E、F、分別為邊AB、BC上的中點(diǎn)，

∴AG∥FC且AG＝FC，

∴四邊形AGCF為平行四邊形，故③正確；

∴AF//CG

∴∠GAF＝∠FCG＝∠DGC，∠AMN＝∠GND

在△ADE和△BAF中，

∵，

∴△ADE≌△BAF（SAS），

∴∠ADE＝∠BAF，

∵∠ADE+∠AEM＝90°

∴∠EAM+∠AEM＝90°

∴∠AME＝90°

∴∠GND＝90°

∴DE⊥CG．

∵∠AMD＝90°,G點(diǎn)為AD中點(diǎn)，

∴DG=MG, DE⊥CG．

∴CG垂直平分DM，

∴CD＝CM，

但是∠MDC不等于60°，所以

CD不等于DM故②錯(cuò)誤；

在△GDC和△GMC中，

∵ ，

∴△GDC≌△GMC（SSS），

∴∠CDG＝∠CMG＝90°，∠MGC＝∠DGC，

∴GM⊥CM，故①正確；

∵∠CDG＝∠CMG＝90°，

∴∠MGD+∠DCM=360°-∠CDG-∠CMG=180°

∵∠AGM+∠MGD=180°，

∴∠AGM＝∠DCM，

∵CD＝CM，

∴∠CMD＝∠CDM，

在Rt△AMD中，∠AMD＝90°，

∴DM＜AD，

∴DM＜CD，

∴∠DMC≠∠DCM，

∴∠CMD≠∠AGM，故④錯(cuò)誤．

故選：B．