Question

【題目】我們知道，任意一個(gè)正整數(shù)n都可以進(jìn)行這樣的分解：n=p×q（p，q是正整數(shù)，且p≤q），在n的所有這種分解中，如果p，q兩因數(shù)之差的絕對(duì)值最小，我們就稱p×q是n的最佳分解．并規(guī)定：F（n）= ．例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因?yàn)?/span>12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）= ．

（1）若F（a）=且a為100以內(nèi)的正整數(shù)，則a=________；

（2）如果m是一個(gè)兩位數(shù)，那么試問(wèn)F（m）是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大（或最小）值以及此時(shí)m的取值并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）6，24，54，96；（2）當(dāng)m為最大的兩位數(shù)質(zhì)數(shù)97時(shí)，F（m）存在最小值，最小值為.

【解析】試題分析：

（1）由題意可知且，由此可得，即a=6或24或54或96；

（2）由F（m）=且可知，F(xiàn)（m）的最大值為1，此時(shí)，則m是一個(gè)完全平方數(shù)，找出兩位數(shù)中的所有完全平方數(shù)即可得到m的值；由F（m）=且可知，當(dāng)m是兩位數(shù)中的最大質(zhì)數(shù)時(shí)，F（m）的值最小，找到兩位數(shù)中的最大質(zhì)數(shù)即可得到答案.

試題解析：

（1）∵，F(xiàn)（a）=，

∴，

∴ a=6或24或54或96；

（2）F（m）存在最大值和最小值.

①∵F（m）=且，

∴F（m）的最大值為1，此時(shí)，

∴當(dāng)m是一個(gè)完全平方數(shù)時(shí)，F(xiàn)（m）有最大值1，

又∵m是兩位數(shù)，

∴當(dāng)m=16或25或36或49或64或81時(shí)，F（m）有最大值1；

②當(dāng)m為質(zhì)數(shù)時(shí)，p=1，q=m，此時(shí)由題意可知F（m）=，

∴當(dāng)m為兩位數(shù)中的最大質(zhì)數(shù)97時(shí)，F（m）最小，

此時(shí)F（m）=F（97）=.