Question

【題目】如圖，正方形的邊長為6，是邊上的一點，繞點逆時針旋轉后得到．三點在同一直線上．

（1）求四邊形的面積．

（2）如果點在邊上，且，試判斷之間有什么樣的數量關系？并說明理由．

（3）在（2）的條件下，若，求的長．

Answer 1

【答案】（1）36；（2）GE＝DG＋BE，理由見解析；（3）的長為3．

【解析】

（1）由旋轉的性質得△ABE≌△ADF，進而得出S四邊形AECF＝S正方形ABCD，計算即可；

（2）根據旋轉的性質求出∠GAF＝45°，然后利用SAS證明△AGE≌△AGF，得到GE＝GF，等量代換即可求出GE＝DG＋BE；

（3）設DG＝x，求出CG＝6－x，EC＝4，GE＝x+2，然后在Rt△CEG中利用勾股定理構建方程，求出x即可．

解：（1）由旋轉的性質得：△ABE≌△ADF，

∴，

∴S四邊形AECF＝S四邊形AECD+S△ADF＝S四邊形AECD+S△ABE＝S正方形ABCD＝6×6＝36；

（2）GE＝DG＋BE，

理由：由旋轉的性質得：AE＝AF，BE＝DF，∠BAE＝∠DAF，

在正方形ABCD中，∠BAD＝90°，

∵∠GAE＝45°，

∴∠BAE＋∠GAD＝45°，

∴∠DAF＋∠GAD＝45°，即∠GAF＝45°，

在△AGE和△AGF中，，

∴△AGE≌△AGF（SAS），

∴GE＝GF，

∵GF＝DG＋DF，BE＝DF，

∴GE＝DG＋BE；

（3）設DG＝x，則CG＝6－x，

∵BE＝DF＝2，

∴EC＝6－2＝4，GE＝GF＝x+2，

在Rt△CEG中，∵EC2+CG2＝GE2，

∴，

解得：x＝3，

即的長為3．