Question

【題目】如圖，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)．以AE為邊作等邊△ADE（點(diǎn)D與點(diǎn)C分別在AB的異側(cè)），連接CD．則△ACD的面積為_____．

Answer 1

【答案】1+

【解析】分析：根據(jù)圓的定義，證明D、A、C、B四點(diǎn)共圓，可得∠ADF=45°，作高線AF，構(gòu)建等腰直角△ADF和30度的直角△AFC，可以求得AF、DF、CF的長(zhǎng)，利用三角形面積公式可得結(jié)論．

詳解：連接CE，

∵∠ACB=90°，E為AB的中點(diǎn)，

∴CE=AE=BE，

∵△ADE是等邊三角形，

∴DE=AE，

∴DE=AE=CE=BE，

∴D、A、C、B在以點(diǎn)E為圓心的圓上，作⊙E，

∴∠ADC=∠ABC=45°，

過(guò)A作AF⊥CD于F，

∴△ADF是等腰直角三角形，

∵AD=AE=AB=2，

∴AF=DF==，

∵∠CAF=∠DAB+∠BAC﹣∠DAF=60°+45°﹣45°=60°，

∴∠ACF=30°，

∴AC=2AF=2，

由勾股定理得：CF===，

∴S△ADC=CDAF=（+）×=1+，

故答案為：1．