Question

【題目】如圖，∠AOB=∠DOC=90°，OE平分∠AOD，反向延長射線OE至F.

（1）∠AOD和∠BOC是否互補？說明理由；

（2）射線OF是∠BOC的平分線嗎？說明理由；

（3）反向延長射線OA至點G，射線OG將∠COF分成了4：3的兩個角，求∠AOD.

Answer 1

【答案】（1）互補；理由見解析；（2）是；理由見解析；（3）54°或

【解析】

（1）根據和等于180°的兩個角互補即可求解；

（2）通過求解得到∠COF=∠BOF，根據角平分線的定義即可得出結論；

（3）分兩種情況：①當∠COG：∠GOF=4：3時；②當∠COG：∠GOF=3：4時；進行討論即可求解．

（1）因為∠AOD+∠BOC=360°﹣∠AOB﹣∠DOC=360°﹣90°﹣90°=180°，

所以∠AOD和∠BOC互補．

（2）因為OE平分∠AOD，所以∠AOE=∠DOE，

因為∠COF=180°﹣∠DOC﹣∠DOE=90°﹣∠DOE，

∠BOF=180°﹣∠AOB﹣∠AOE=90°﹣∠AOE，

所以∠COF=∠BOF，即OF是∠BOC的平分線．

（3）因為OG將∠COF分成了4：3的兩個部分，

所以∠COG：∠GOF=4：3或者∠COG：∠GOF=3：4．

①當∠COG：∠GOF=4：3時，設∠COG=4x°，則∠GOF=3x°，

由（2）得：∠BOF=∠COF=7x°

因為∠AOB+∠BOF+∠FOG=180°，

所以90°+7x+3x=180°，

解方程得：x=9°，

所以∠AOD=180°﹣∠BOC=180°﹣14x=54°．

②當∠COG：∠GOF=3：4時，設∠COG=3x°，∠GOF=4x°，

同理可列出方程：90°+7x+4x=180°，

解得：x = ，

所以∠AOD=180°﹣∠BOC=180°﹣14x．

綜上所述：∠AOD的度數是54°或．