Question

【題目】如圖，已知拋物線 y＝x2+2x 的頂點為 A，直線 y＝x+2 與拋物線交于 B，C 兩點．

（1）求 A，B，C 三點的坐標；

（2）作 CD⊥x 軸于點 D，求證：△ODC∽△ABC；

（3）若點 P 為拋物線上的一個動點，過點 P 作 PM⊥x 軸于點 M，則是否還存在除 C 點外的其他位置的點，使以 O，P，M 為頂點的三角形與△ABC 相似？ 若存在，請求出這樣的 P 點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）B（﹣2，0），C（1，3）；（2）見解析；（3）存在這樣的點 P，坐標為（﹣，﹣）或（﹣，）或（﹣5，15）．

【解析】

（1）可設頂點式，把原點坐標代入可求得拋物線解析式，聯立直線與拋物線解析式，可求得C點坐標；
（2）根據勾股定理可得∠ABC＝90°，進而可求△ODC∽△ABC.

（3）設出p點坐標，可表示出M點坐標，利用三角形相似可求得p點的坐標．

（1）解：y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1，

∴頂點 A（﹣1，﹣1）；

由 ，解得：或

∴B（﹣2，0），C（1，3）；

（2）證明：∵A（﹣1，﹣1），B（﹣2，0），C（1，3），

∴AB＝ ，

BC＝ ，

AC＝，

∴AB2+BC2＝AC2，，

∴∠ABC＝90°，

∵OD＝1，CD＝3，

∴=，

∴，∠ABC＝∠ODC＝90°，

∴△ODC∽△ABC；

（3）存在這樣的 P 點，設 M（x，0），則 P（x，x2+2x），

∴OM＝|x|，PM＝|x2+2x|，

當以 O，P，M 為頂點的三角形與△ABC 相似時，

有或 ，

由（2）知：AB＝ ，CB＝，

①當時，則 ＝， 當 P 在第二象限時，x＜0，x2+2x＞0，

∴，解得：x1＝0（舍），x2＝ -， 當 P 在第三象限時，x＜0，x2+2x＜0，

∴＝ ，解得：x1＝0（舍），x2＝-，

②當時，則 ＝3， 同理代入可得：x＝﹣5 或 x＝1（舍），

綜上所述，存在這樣的點 P，坐標為（-，-）或（-，）或（﹣5，15）．