Question

【題目】小明在學習了“等邊三角形”后，激發了他的學習和探究的興趣，就想考考他的朋友小崔，小明作了一個等邊，如圖1，并在邊上任意取了一點（點不與點、點重合），過點作交于點，延長到，使得，連接交于點.

（1）若，求的長度；

（2）如圖2，延長到，再延長到，使得，連接，，求證：.

Answer 1

【答案】（1）HI =5；(2)見解析.

【解析】

（1）作FP∥BC交AB于點P，證明是等邊三角形得到AH=PH， 再證明得到PI=BI，于是可得HI =AB，即可求解；
（2）延長BD至Q，使DQ=AB，連結EQ，就可以得出BE=BQ，得出△BEQ是等邊三角形，就可以得出BE=QE，得出△BCE≌△QDE就可以得出結論．

解：如圖1，作FP∥BC交AB于點P，

∵是等邊三角形,

∴∠ABC=∠A=60°,

∵FP∥BC,

∴∠APF=∠ABC=60°, ∠PFI=∠BGI,

∴∠APF=∠A=60°,

∴是等邊三角形,

∴PF=AF,

∵，

∴AH=PH,

∵AF=BG,

∴PF=BG,

∴在和中，

,

∴,

∴PI=BI,

∴PI+PH=BI+AH=AB,

∴HI=PI+PH =AB= =5；

(2)如圖2，延長BD至Q，使DQ=AB，連結EQ，

∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=BC=AC，∠B=60°．

∵AE=BD，DQ=AB，

∴AE+AB=BD+DQ，

∴BE=BQ．

∵∠B=60°，

∴△BEQ為等邊三角形，

∴∠B=∠Q=60°，BE=QE．

∵DQ=AB，

∴BC=DQ．

∴在△BCE和△QDE中，

，

∴△BCE≌△QDE（SAS），
∴EC=ED．

∴∠ECD=∠EDC.