Question

如圖1，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，AB=2，CD=1，BC=m，P為線段BC上的一動點，且和B、C不重合，連接PA，過P作PE⊥PA交CD所在直線于E．設BP=x，CE=y．

（1）求y與x的函數關系式；
（2）若點P在線段BC上運動時，點E總在線段CD上，求m的取值范圍；
（3）如圖2，若m=4，將△PEC沿PE翻折至△PEG位置，∠BAG=90°，求BP長．

Answer 1

（1）
（2）0＜
（3）BP的長為或2

分析：（1）證明△ABP∽△PCE，利用比例線段關系求出y與x的函數關系式。
（2）根據（1）中求出的y與x的關系式，利用二次函數性質，求出其最大值，列不等式確定m的取值范圍。
（3）根據翻折的性質及已知條件，構造直角三角形，利用勾股定理求出BP的長度。
解：（1）∵∠APB+∠CPE=90°，∠CEP+∠CPE=90°，∴∠APB=∠CEP。
又∵∠B=∠C=90°，∴△ABP∽△PCE。
∴，即。
∴y與x的函數關系式為。
（2）∵，
∴當x=時，y取得最大值，最大值為。
∵點P在線段BC上運動時，點E總在線段CD上，
∴，解得。
∵m＞0，∴m的取值范圍為：0＜。
（3）由折疊可知，PG=PC，EG=EC，∠GPE=∠CPE，
又∵∠GPE+∠APG=90°，∠CPE+∠APB=90°，
∴∠APG=∠APB。
∵∠BAG=90°，∴AG∥BC。∴∠GAP=∠APB。
∴∠GAP=∠APG。∴AG=PG=PC。
如圖，分別延長CE、AG，交于點H，

則易知ABCH為矩形，HE=CH﹣CE=2﹣y，，
在Rt△GHE中，由勾股定理得：GH²+HE²=GH²，
即：x²+（2﹣y）²=y²，化簡得：x²﹣4y+4=0 ①
由（1）可知，這里m=4，∴。
代入①式整理得：x²﹣8x+4=0，解得：x=或x=2。
∴BP的長為或2。