Question

如圖，在平行四邊形ABCD中，E為BC邊上一點，連結AE、BD且AE=AB。

（1）求證：∠ABE=∠EAD；
（2）若∠AEB=2∠ADB，求證：四邊形ABCD是菱形。

Answer 1

（1）根據平行四邊形的對邊互相平行可得AD∥BC，再根據兩直線平行，內錯角相等可得∠AEB=∠EAD，根據等邊對等角可得∠ABE=∠AEB，即可得證。
（2）根據兩直線平行，內錯角相等可得∠ADB=∠DBE，然后求出∠ABD=∠ADB，再根據等角對等邊求出AB=AD，然后利用鄰邊相等的平行四邊形是菱形證明即可。

分析：（1）根據平行四邊形的對邊互相平行可得AD∥BC，再根據兩直線平行，內錯角相等可得∠AEB=∠EAD，根據等邊對等角可得∠ABE=∠AEB，即可得證。
（2）根據兩直線平行，內錯角相等可得∠ADB=∠DBE，然后求出∠ABD=∠ADB，再根據等角對等邊求出AB=AD，然后利用鄰邊相等的平行四邊形是菱形證明即可。
證明：（1）∵在平行四邊形ABCD中，AD∥BC，∴∠AEB=∠EAD。
∵AE=AB，∴∠ABE=∠AEB。
∴∠ABE=∠EAD。
（2）∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBE。
∵∠ABE=∠AEB，∠AEB=2∠ADB，∴∠ABE=2∠ADB。
∴∠ABD=∠ABE－∠DBE=2∠ADB－∠ADB=∠ADB。∴AB=AD。
又∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴四邊形ABCD是菱形。