Question

已知△ABC為等邊三角形，點D為直線BC上的一動點（點D不與B、C重合），以AD為邊作菱形ADEF（A、D、E、F按逆時針排列），使∠DAF=60°，連接CF．
（1）如圖1，當點D在邊BC上時，求證：①BD=CF；②AC=CF+CD；
（2）如圖2，當點D在邊BC的延長線上且其他條件不變時，結論AC=CF+CD是否成立？若不成立，請寫出AC、CF、CD之間存在的數量關系，并說明理由；
（3）如圖3，當點D在邊CB的延長線上且其他條件不變時，補全圖形，并直接寫出AC、CF、CD之間存在的數量關系．

Answer 1

（1）見解析  （2）AC=CF﹣CD，理由見解析  （3）AC=CD﹣CF

試題分析：（1）根據已知得出AF=AD，AB=BC=AC，∠BAC=∠DAF=60°，求出∠BAD=CAF，證△BAD≌△CAF，推出CF=BD即可。
（2）求出∠BAD=∠CAF，根據SAS證△BAD≌△CAF，推出BD=CF即可。
（3）畫出圖形后，根據SAS證△BAD≌△CAF，推出CF=BD即可：
∵∠BAC=∠DAF=60°，∴∠DAB=∠CAF。
∵在△BAD和△CAF中，AB=AC，∠DAB=∠CAF，AD=AF，
∴△BAD≌△CAF（SAS）。
∴CF=BD。∴CD﹣CF=CD﹣BD=BC=AC。
∴AC、CF、CD之間存在的數量關系為AC=CD﹣CF。
解：（1）證明：∵菱形AFED，∴AF=AD。
∵△ABC是等邊三角形，∴AB=AC=BC，∠BAC=60°=∠DAF。
∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAF﹣∠DAC，即∠BAD=∠CAF。
∵在△BAD和△CAF中，AB=AC，∠BAD=∠CAF，AD=AF，
∴△BAD≌△CAF（SAS）。
∴CF=BD。∴CF+CD=BD+CD=BC=AC。
即①BD=CF，②AC=CF+CD。
（2）AC=CF+CD不成立，AC、CF、CD之間存在的數量關系是AC=CF﹣CD。理由如下：
由（1）知：AB=AC=BC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=60°，
∴∠BAC+∠DAC=∠DAF+∠DAC，即∠BAD=∠CAF。
∵在△BAD和△CAF中，AB=AC，∠BAD=∠CAF，AD=AF，
∴△BAD≌△CAF（SAS）。∴BD=CF。
∴CF﹣CD=BD﹣CD=BC=AC，即AC=CF﹣CD。
（3）補全圖形如下：

AC、CF、CD之間存在的數量關系為AC=CD﹣CF。