Question

【題目】材料1：在設(shè)計(jì)人體雕塑時(shí)，存在一個(gè)分隔點(diǎn)，使雕塑的上部（腰以上）與下部（腰以下）之比，等于下部與全部（全身）之比，可以增加視覺美觀，數(shù)學(xué)上把這個(gè)點(diǎn)叫“黃金分割點(diǎn)”． 為了研究這個(gè)點(diǎn)，我們在線段AB上取點(diǎn)C（如圖1），點(diǎn)C把AB分成AC和CB兩段，其中BC是較小的一段，現(xiàn)要使即可．為了簡便起見，設(shè)AB=1，AC=x，則CB=1-x，代入，即，也即x2+x-1=0，解之得，．所以=，人們把這個(gè)數(shù)叫黃金分割數(shù)，點(diǎn)C叫“黃金分割點(diǎn)”．

材料2：由線段的黃金分割點(diǎn)聯(lián)想到圖形的“黃金分割線”，類似地給出“黃金分割線”的定義：直線l將一個(gè)面積為S的圖形分成面積為S1和面積為S2的兩部分（設(shè)S1＜S2），如果，那么稱直線l為該圖形的“黃金分割線”．

（1）如圖2，點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)（AC>CB），取線段AB的中點(diǎn)O，作點(diǎn)C關(guān)于點(diǎn)O的對稱點(diǎn)，則；繼續(xù)取線段AC的中點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)，試猜想點(diǎn)是否線段A的黃金分割點(diǎn)，若是，請證明，若不是，請說明理由；

（2）如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中， A（-，0），B（1，0），C（4-，2），求△ABC中經(jīng)過點(diǎn)C的“黃金分割線”解析式．

Answer 1

【答案】（1） ，點(diǎn)是線段A的黃金分割點(diǎn)，理由詳見解析；（2）

【解析】

（1），根據(jù)中點(diǎn)及對稱點(diǎn)的性質(zhì)得到A=BC，再根據(jù)線段成比例證得點(diǎn)是否線段A的黃金分割點(diǎn)；

（2）過點(diǎn)C作CH⊥x軸于點(diǎn)H，分兩種情況：①當(dāng)＞時(shí)，②當(dāng)＜時(shí)，分別證明點(diǎn)D是線段AB的黃金分割點(diǎn)，由此求出解析式.

（1）

點(diǎn)是線段A的黃金分割點(diǎn)，理由如下：

∵OC=O，

∴AO - O=BO-OC，

∴A=BC，

∵=，

∴=，

∴點(diǎn)是AC的黃金分割點(diǎn)，

∴ ，

同理可得

∴

∴是線段A的黃金分割點(diǎn)

（2）設(shè)直線CD是△ABC的黃金分割線，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x,0），直線CD的解析式為：，

過點(diǎn)C作CH⊥x軸于點(diǎn)H，

，，，

①當(dāng)＞時(shí)，

∵直線CD是△ABC的黃金分割線，

∴，

∴，

∴點(diǎn)D是線段AB的黃金分割點(diǎn)，

∴=，，

解之得，x=2- ，

∵直線經(jīng)過D（2-，0），C（4-，2），

∴，

解之得，，

∴；

②當(dāng)＜時(shí)，

∵直線CD是△ABC的黃金分割線，

∴，

∴，

∴點(diǎn)D是線段AB的黃金分割點(diǎn)，

∴=，=，

解之得，，

∵直線經(jīng)過C（4-，2），D（-1,0），

∴，

解之得， ，

∴.