Question

如圖，已知反比例函數y=

k

x

(k＜0)的圖象經過點A(-

3

，m)，過點A作AB⊥x軸于點B，且△AOB的面積為

3

．
（1）求k和m的值；
（2）若一次函數y=ax+1的圖象經過點A，并且與x軸相交于點C，求|AO|：|AC|的值；
（3）若D為坐標軸上一點，使△AOD是以AO為一腰的等腰三角形，請寫出所有滿足條件的D點的坐標．

Answer 1

分析：（1）由三角形面積和反比例函數經過的點可以求出k和m的值；
（2）由（1）的結果，可得出AO的長度，再由線段與坐標軸的交點求出直線方程，從而得出C點坐標，得出AC的值；
（3）根據等腰三角形的性質及點在坐標軸上進行分類討論，得出正確的結果．

解答：解：（1）∵AB⊥x軸，
∴S△AOB=

1

2

|xAyA|=

1

2

|k|=

3

．
∵k＜0，
∴k=-2

3

．
∵-

3

m=k，
∴m=2．
故k和m的值分別為-2

3

和2．

（2）由（1）得m=2，
∴A(-

3

，2)，
∴由已知得2=-

3

a+1，
∴a=-

3

3

，
∴一次函數為y=-

3

3

x+1，令y=0得x=

3

，
∴C(

3

，0)，
∴OC=

3

．
∵OB=

3

，
∴BC=2

3

，AC=

AB2+BC2

=4．
又∵AO=

(- 3 )2+22

=

7

故AO：AC=

7

：4．

（3）由（2）知，AO=

7

，
又∵D為坐標軸上一點，使△AOD是以AO為一腰的等腰三角形，
∴由分析可知：
滿足D點的坐標為：（0，±

7

），（0，4），（-2

3

，0），（±

7

，0）．

點評：本題綜合考查反比例函數與方程組的相關知識點．先由點的坐標求函數解析式，然后解由解析式組成的方程組求出交點的坐標，體現了數形結合的思想．同時還加入了分類討論的內容．