Question

已知矩形紙片ABCD中，AB＝2，BC＝3．
操作：將矩形紙片沿EF折疊，使點B落在邊CD上．
探究：

（1）如圖1，若點B與點D重合，你認為△EDA₁和△FDC全等嗎？如果全等，請給出證明，如果不全等，請說明理由；
（2）如圖2，若點B與CD的中點重合，請你判斷△FCB₁、△B₁DG和△EA₁G之間的關系，如果全等，只需寫出結果，如果相似，請寫出結果，求出相應的相似比；
（3）如圖2，請你探索，當點B落在CD邊上何處，即B₁C的長度為多少時，△FCB₁與△B₁DG全等．

Answer 1

（1）全等；（2）△B₁DG和△EA₁G全等，△FCB₁與△B₁DG相似，相似比為4：3；（3）B₁C=

試題分析：（1）根據矩形的性質可得∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°，AB=CD，即得∠A=∠A₁，∠B=∠A₁DF=90°，CD=A₁D，根據同角的余角相等可得∠A₁DE=∠CDF，即可證得結論；
（2）△B₁DG和△EA₁G全等證法同（1）；設FC=，則B₁F=BF=，B₁C=DC=1，根據勾股定理即可列方程求得x的值，從而求得△FCB₁與△B₁DG相似的相似比；
（3）設，則有，，在直角中，根據勾股定理列方程求解即可.
（1）全等．
∵四邊形ABCD是矩形，
所以∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°，AB=CD，
由題意知：∠A=∠A₁，∠B=∠A₁DF=90°，CD=A₁D，
所以∠A₁=∠C=90°，∠CDF+∠EDF=90°，
所以∠A₁DE=∠CDF，所以△EDA₁≌△FDC（ASA）；
（2）△B₁DG和△EA₁G全等．
△FCB₁與△B₁DG相似，設FC=，則B₁F=BF=，B₁C=DC=1，
所以，所以，
所以△FCB₁與△B₁DG相似，相似比為4：3；
（3）△FCB₁與△B₁DG全等．設，則有，，
在直角中，可得，
整理得，解得(另一解舍去)，
所以，當B₁C=時，△FCB₁與△B₁DG全等．
點評：此類問題難度較大，在中考中比較常見，一般在壓軸題中出現，需特別注意.