Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4．動點P從點A出發沿AC向終點C運動，同時動點Q從點B出發沿BA向點A運動，到達A點后立刻以原來的速度沿AB返回．點P、Q運動速度均為每秒1個單位長度，當點P到達點C時停止運動，點Q也同時停止．連接PQ，設運動時間為t（t >0）秒．

（1）求線段AC的長度；
（2）當點Q從點B向點A運動時（未到達A點），求△APQ的面積S關于t的函數關系式，并寫出t的取值范圍；
（3）伴隨著P、Q兩點的運動，線段PQ的垂直平分線為l：
①當l經過點A時，射線QP交AD于點E，求AE的長；
②當l經過點B時，求t的值．

Answer 1

（1）5 （2），    （3）3、t＝2.5，

試題分析：（1）在矩形ABCD中，         

（2）過點P作PH⊥AB于點H，AP=t，AQ =3－t，
由△AHP∽△ABC，得，∴PH=，
，  
. 
(3) ①如圖②，線段PQ的垂直平分線為l經過點A，則AP=AQ，
即3－t=t，∴t=1.5，∴AP=AQ=1.5，
延長QP交AD于點E，過點Q作QO∥AD交AC于點O，
則，
，∴PO=AO－AP=1．
由△APE∽△OPQ，得． 
②（ⅰ）如圖③，當點Q從B向A運動時l經過點B，

BQ＝CP＝AP＝t，∠QBP＝∠QAP  
∵∠QBP＋∠PBC＝90°，∠QAP＋∠PCB＝90°
∴∠PBC＝∠PCB   CP＝BP＝AP＝t       
∴CP＝AP＝AC＝×5＝2.5　∴t＝2.5．    
（ⅱ）如圖④，當點Q從A向B運動時l經過點B，

BP＝BQ＝3－（t－3）＝6－t，AP＝t，PC＝5－t，
過點P作PG⊥CB于點G由△PGC∽△ABC，
得
,BG＝4－=
由勾股定理得，即，解得．
點評：本題考查矩形，相似三角形，要求考生掌握矩形的性質，相似三角形的判定方法，會判定兩個三角形相似