Question

如圖，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，對角線AC的垂直平分線分別交AD、BC于點E、F，交AC于點O，
（1）求證：△AEO≌△CFO；
（2）連接AF、CE，判斷四邊形AFCE的形狀，并說明；
（3）求線段AF的長．

Answer 1

（1）證明：∵EF是AC的垂直平分線，
∴AO=OC，∠AOE=∠COF=90°，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO，
在△AEO和△CFO中
，
△AEO≌△CFO（ASA）；
（2）解：四邊形AFCE是菱形，
理由是：由（1）△AEO≌△CFO得：OE=OF
又∵OA=OC，
∴四邊形AFCE是平行四邊形，
又∵EF⊥AC
∴平行四邊形AFCE是菱形；

（3）解：設AF=x，
∵EF是AC的垂直平分線，
∴AF=CF=x，BF=8-x，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：AB²+BF²=AF²，
6²+（8-x）²=x²，
x=，
即AF=．
分析：（1）求出AO=OC，∠AOE=∠COF，根據平行線得出∠EAO=∠FCO，根據ASA推出兩三角形全等即可；
（2）根據全等得出OE=OF，推出四邊形是平行四邊形，再根據EF⊥AC即可推出四邊形是菱形；
（3）根據線段垂直平分線性質得出AF=CF，設AF=x，推出AF=CF=x，BF=8-x，在Rt△ABF中，由勾股定理得出方程6²+（8-x）²=x²，求出即可．
點評：本題考查了勾股定理，矩形性質，平行四邊形的判定，菱形的判定，全等三角形的性質和判定，平行線的性質等知識點的綜合運用，用了方程思想．