Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，A（3，0），B（0，3），過點B畫y軸的垂線l，點C在線段AB上，連結OC并延長交直線l于點D，過點C畫CE⊥OC交直線l于點E．

（1）求∠OBA的度數，并直接寫出直線AB的解析式；

（2）若點C的橫坐標為2，求BE的長；

（3）當BE＝1時，求點C的坐標．

Answer 1

【答案】（1）直線AB的解析式為：y＝﹣x+3；（2）BE＝1；（3）C的坐標為（1，2）．

【解析】

（1）根據A（3，0），B（0，3）可得OA=OB=3，得出△AOB是等腰直角三角形，∠OBA=45°，進而求出直線AB的解析式；

（2）作CF⊥l于F，CG⊥y軸于G，利用ASA證明Rt△OGC≌Rt△EFC（ASA），得出EF=OG=1，那么BE=1；

（3）設C的坐標為（m，-m+3）．分E在點B的右側與E在點B的左側兩種情況進行討論即可．

（1）∵A（3，0），B（0，3），∴OA＝OB＝3．∵∠AOB＝90°，

∴∠OBA＝45°，∴直線AB的解析式為：y＝﹣x+3；

（2）作CF⊥l于F，CG⊥y軸于G，∴∠OGC＝∠EFC＝90°．∵點C的橫坐標為2，點C在y＝﹣x+3上，∴C（2，1），CG＝BF＝2，OG＝1．∵BC平分∠OBE，

∴CF＝CG＝2．∵∠OCE＝∠GCF＝90°，∴∠OCG＝∠ECF，

∴Rt△OGC≌Rt△EFC（ASA），∴EF＝OG＝1，∴BE＝1；

（3）設C的坐標為（m，﹣m+3）．

當E在點B的右側時，由（2）知EF＝OG＝m﹣1，

∴m﹣1＝﹣m+3，

∴m＝2，

∴C的坐標為（2，1）；

當E在點B的左側時，同理可得：m+1＝﹣m+3，

∴m＝1，

∴C的坐標為（1，2）．