Question

如圖，在平面直角坐標系中，直線y=﹣2x+42交x軸于點A，交直線y=x于點B，拋物線y=ax²﹣2x+c分別交線段AB、OB于點C、D，點C和點D的橫坐標分別為16和4，點P在這條拋物線上．

（1）求點C、D的縱坐標．
（2）求a、c的值．
（3）若Q為線段OB上一點，P、Q兩點的縱坐標都為5，求線段PQ的長．
（4）若Q為線段OB或線段AB上一點，PQ⊥x軸，設P、Q兩點間的距離為d（d＞0），點Q的橫坐標為m，直接寫出d隨m的增大而減小時m的取值范圍．

Answer 1

（1）C的縱坐標為16，D的縱坐標為4，(2)a=,c="10" (3)PQ=2±3(4)0≦m≦4或8≦m≦16.

試題分析：解：(1）∵點C在直線AB：y=﹣2x+42上，且C點的橫坐標為16，
∴y=﹣2×16+42=10，即點C的縱坐標為10；
∵D點在直線OB：y=x上，且D點的橫坐標為4，
∴點D的縱坐標為4；
（2）由（1）知點C的坐標為（16，10），點D的坐標為（4，4），
∵拋物線y=ax²﹣2x+c經過C、D兩點，
∴，
解得：a=，c=10，
∴拋物線的解析式為y=x²﹣2x+10；
（3）∵Q為線段OB上一點，縱坐標為5，
∴P點的橫坐標也為5，
∵點Q在拋物線上，縱坐標為5，
∴x²﹣2x+10=5，
解得x₁=8+2，x₂=8﹣2，
當點Q的坐標為（8+2，5），點P的坐標為（5，5），線段PQ的長為2+3，
當點Q的坐標為（8﹣2，5），點P的坐標為（5，5），線段PQ的長為2﹣3．
所以線段PQ的長為2+3或2﹣3．
（4）根據題干條件：PQ⊥x軸，可知P、Q兩點的橫坐標相同，
拋物線y=x²﹣2x+10=（x﹣8）²+2的頂點坐標為（8，2），
聯立解得點B的坐標為（14，14），
①當點Q為線段OB上時，如圖所示，當0≤m≤4或8≤m≤14時，d隨m的增大而減小，
②當點Q為線段AB上時，如圖所示，當14≤m≤16時，d隨m的增大而減小，
綜上所述，當0≤m≤4或8≤m≤16時，d隨m的增大而減小．

點評：熟知以上性質，本題有四問較多，計算量也很大，需要細心審題解答，綜合性較強，易出錯，本題難度偏大，復雜，屬于難題。