Question

已知一元二次方程x²+px+q+1=0的一根為2．
（1）求q關于p的關系式；
（2）求證：拋物線y=x²+px+q與x軸有兩個交點；
（3）設拋物線y=x²+px+q的頂點為M，且與x軸相交于A（x₁，0）、B（x₂，0）兩點，求使△AMB面積最小時的拋物線的解析式．

Answer 1

（1）把x=2代入得2²+2p+q+1=0，即q=-（2p+5）；

（2）證明：∵一元二次方程x²+px+q=0的判別式△=p²-4q＞0，
由（1）得△=p²+4（2p+5）=p²+8p+20=（p+4）²+4＞0，（3分）
∴一元二次方程x²+px+q=0有兩個不相等的實根．（4分）
∴拋物線y=x²+px+q與x軸有兩個交點；（5分）

（3）拋物線頂點的坐標為M(-

p

2

，

4q-p2

4

)，（6分）
∵x₁，x₂是方程x²+px+q=0的兩個根，
∴

x1+x2=-p x1x2=q

，
∴|AB|=|x1-x2|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

p2-4q

．（7分）
∴S△AMB=

1

2

|AB|•|

4q-p2

4

|=

1

8

(p2-4q)

p2-4q

，（8分）
要使S_△AMB最小，只須使p²-4q最小．
由（2）得△=p²-4q=（p+4）²+4，
所以當p=-4時，有最小值4，此時S_△AMB=1，q=3．（9分）
故拋物線的解析式為y=x²-4x+3．（10分）