Question

已知二次函數(shù)y=-x²+（m-2）x+m+1．
（1）試說明：不論m取任何實(shí)數(shù)，這個(gè)二次函數(shù)的圖象必與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)．
（2）當(dāng)m為何值時(shí)，這兩個(gè)交點(diǎn)都在原點(diǎn)的左側(cè)？
（3）當(dāng)m為何值時(shí)，這個(gè)二次函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸是y軸？

Answer 1

（1）證明：△=（m-2）²-4×（-1）×（m+1）
=m²+8，
∵m²≥0，
∴m²+8＞0，即△＞0，
∴不論m取任何實(shí)數(shù)，這個(gè)二次函數(shù)的圖象必與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；

（2）設(shè)二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（x₁，0），（x₂，0），則x₁和x₂為關(guān)于x的方程-x²+（m-2）x+m+1=0的兩不等實(shí)數(shù)根，且x₁＜0，x₂＜0，
∴x₁+x₂=m-2＜0，x₁•x₂=-（m+1）＞0，
∴m＜-1；
即m＜-1時(shí)，這兩個(gè)交點(diǎn)都在原點(diǎn)的左側(cè)；

（3）根據(jù)題意得x=-

m-2

2×(-1)

=0，
解得m=2，
即m=2時(shí)，這個(gè)二次函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸是y軸．