Question

【題目】已知：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝8，O是AB邊的中點(diǎn)，P是AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，OE⊥OP交BC邊于點(diǎn)E，連接PE.

（1）如圖①，當(dāng)P與C重合時(shí)，線段PE的長(zhǎng)為___________；

（2）如圖②，當(dāng)P在AC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，

①探究：線段PA，PE，EB之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

②若設(shè)PA=，PE2=y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式及線段PE的最小值.

Answer 1

【答案】（1）5；（2）①PA2+EB2=PE2，證明見解析.②y=x25x+25 2

【解析】分析：（1）根據(jù)中線定理和直角三角形斜邊上的中線分別表示出AB、OA的長(zhǎng)度，再證明△COE∽△BCD即可.

（2）①如下圖②，先判斷△BOM≌△AOP，可得：BM2+EB2=ME2，又∵OE⊥PM，OM=OP，∴ME=PE，即可證明BM2+EB2=ME2.

②求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式即可解答.

詳解：（1）在Rt△ABC中，AB=,

∵O是AB中點(diǎn)，∴OA=CO=BO=AB=2.

∴∠OCB=∠B，又∵OE⊥OP，∴∠COE=∠A=90°.

∴△COE∽△BCD，

∴，即：，∴CE=5.

（2）①三者的數(shù)量關(guān)系為PA2+EB2=PE2.

證明：如圖②，延長(zhǎng)PO到M，使OM=OP，連接BM，EM，

∵O是AB邊的中點(diǎn)，∴0B＝OA，

又 ∠BOM＝∠AOP，∴△BOM≌△AOP,

∴∠OBM＝∠OAP，BM=AP.

∴∠OBM+∠ABC＝∠BAC+∠ABC＝90°，

∴BM2+EB2=ME2，

又∵OE⊥PM，OM=OP，∴ME=PE，

∴PA2+EB2=PE2.

②如圖②，設(shè)EB=m，則CE=8-m，∵ PA=x，則PC=4-x，又PE2=y，

在Rt△PEC中，由勾股定理得：PC2+CE2=PE2，

則(4-x)2+(8-m)2=y ①.

又PA2+EB2=PE2，則x2+m2=y，②.

由①②聯(lián)解消y得：m=-③，

將③代入②并整理，得：y=，

∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為 ，

∵=，

∴當(dāng)x=2時(shí)，y的最小值為20，∴PE的最小值為2.