Question

【題目】在矩形中，，，是邊上一點(diǎn)，以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，在的右側(cè)作等腰直角．

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，求的長；

（2）如圖2，若，求的長；

（3）如圖3，若動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿邊向右運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)停止，直接寫出線段的中點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）線段的中點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長為．

【解析】

（1）如圖1中，證明△ABE≌△ECF（AAS），即可解決問題．

（2）如圖2中，延長DF，BC交于點(diǎn)N，過點(diǎn)F作FM⊥BC于點(diǎn)M．證明△EFM≌△DNC（AAS），設(shè)NC=FM=x，利用勾股定理構(gòu)建方程即可解決問題．

（3）如圖3中，在BC上截取BM=BA，連接AM，MF，取AM的中點(diǎn)H，連接HQ．由△ABE∽△AMF，推出∠AMF=∠ABE=90°，由AQ=FQ，AH=MH，推出，HQ∥FM，推出∠AHQ=90°，推出點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段HQ，求出MF的長即可解決問題．

（1）如圖1中，

四邊形是矩形，

，

，，

，，

，

，

．

（2）如圖2中，延長，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)．

同理可證，

設(shè)，則，

，，

，

，

，

，，，

即在中，，

在中，，

在中，，

即，解得或（舍棄），即，

（3）如圖3中，在上截取，連接，，取的中點(diǎn)，連接．

，

，

，

，

，，

，，

，，

，

點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段，

當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，，

，

，

線段的中點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長為．