Question

【題目】如圖，在ABCD中，AE⊥BC，垂足為點E，CE＝CD，點F為CE的中點，點G為CD上的一點，連接DF，EG，AG，∠1＝∠2.

(1)若CF＝2，AE＝3，求BE的長；

(2)求證：∠CEG＝∠AGE.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析

【解析】試題分析：（1）求出DC=CE=2CF=4，求出AB，根據勾股定理求出BE即可；
（2）延長AG，BC交于點H，證△CEG≌△CDF，推出CG=CF，求出M為AE中點，得出等腰三角形AGE，根據性質得出GM是∠AGE的角平分線，即可得出答案．

試題解析：(1)∵點F為CE的中點，∴CE＝CD＝2CF＝4.

又∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB＝CD＝4.

在Rt△ABE中，由勾股定理，得BE＝＝.

(2)證明：延長AG，BC交于點H.

∵∠2＝∠1，∠ECG＝∠DCF，CE＝CD

∴△CEG≌△CDF(AAS)．∴CG＝CF.

∵CD＝CE＝2CF，∴CG＝GD.

∵在ABCD中，AD∥BC，

∴∠DAG＝∠CHG，∠ADG＝∠HCG.

∴△ADG≌△HCG(AAS)．∴AG＝HG.

∵∠AEH＝90°，∴EG＝AG＝HG.∴∠CEG＝∠H.

∵∠AGE＝∠CEG＋∠H，

∴∠AGE＝2∠CEG，即∠CEG＝∠AGE.