Question

【題目】如圖，二次函數y＝ax2＋bx＋c 的圖象與 x 軸交于 B、C 兩點，交 y 軸于點 A.

（1）根據圖象請用“＞”、“＜”或“=”填空：a 0，b 0，c 0；

(2)如果 OC＝OA＝ OB，BC＝3，求這個二次函數的解析式;

(3) 在（2）中拋物線的對稱軸上，存在點 Q 使得△OQA 的周長最短，試求出點 Q 的坐標.

Answer 1

【答案】（1）a＞0，b＞0，c＜0; （2）y=x2+x-1；（3）Q（-，）.

【解析】

（1）根據拋物線開口方向、對稱軸方程以及拋物線與y軸交點的位置確定a，b，c的符號；

（2）首先由函數圖象可確定A，B，C三點的坐標，然后分別代入二次函數y=ax2+bx+c中即可解得系數，進而即得解析式．

（3）設O關于對稱軸的對稱點為D，連接AD交對稱軸于點Q，求出直線AD的解析式，把對稱軸x=-即可求出Q的坐標.

解：（1）如圖，∵拋物線開口方向向上，

∴a＞0．

又∵對稱軸x=-＜0，

∴a、b同號，即b＞0．

∵拋物線與y軸交與負半軸，

∴c＜0．

綜上所述，a＞0，b＞0，c＜0．

（2）∵OC=OA=OB，BC=3，

∴點A的坐標為（0，-1），點B的坐標為（-2，0），點C的坐標為（1，0），

把A，B，C三點分別代入二次函數y=ax2+bx+c中可得：

，

解得，

∴該二次函數的解析式是：y=x2+x-1；

（3）如圖，設O關于對稱軸的對稱點為D，連接AD交對稱軸于點Q，

對于y=x2+x-1，其對稱軸為：直線x=-，

∵O關于對稱軸的對稱點為D，

∴D(-1，0),

設直線AD的解析式為y=kx+b，把D（-1，0），A（0，-1）代入得

，解得，

∴y=-x-1，

當x=-時，y=，

∴Q（-，）.