Question

如圖，在△ABC中，∠ACB=90°AC=BC=6cm，正方形DEFG的邊長為2cm，其一邊EF在BC所在的直線L上，開始時點F與點C重合，讓正方形DEFG沿直線L向右以每秒1cm的速度作勻速運動，最后點E與點B重合．
（1）請直接寫出該正方形運動6秒時與△ABC重疊部分面積的大小；
（2）設運動時間為x（秒），運動過程中正方形DEFG與△ABC重疊部分的面積為y（cm²）．
①在該正方形運動6秒后至運動停止前這段時間內，求y與x之間的函數關系式；
②在該正方形整個運動過程中，求當x為何值時，y=

1

2

．

Answer 1

（1）如圖1，重疊部分的面積為

1

2

×2²=2cm²

（2）①當正方形停止運動時，點E與點B重合，此時x=8，如圖2，

當6＜x＜8時，設正方形DEFG與AB交于點M，在Rt△MEB中，∠MEB=90°，ME=EB=CB-CE=6-（x-2）=8-x
∴重疊部分面積：y=S_△MEB=

1

2

•EB²=

1

2

（8-x）²
②在正方形運動過程中，分四種情況：當0＜x＜2時，如圖3，

重疊部分面積y=2x，且0＜y＜4
令y=

1

2

，得2x=

1

2

，解得x=

1

4

當2≤x≤4時，如圖4，

重疊部分面積都為4cm²，此時y≠

1

2

當4＜x≤6時，如圖5，

易見重疊部分面積y隨x的增大而減小
由上面得出的結論知當x=4時，y=4；由（1）知當x=6時，y=2
∴2≤y＜4，此時y≠

1

2

當6＜x＜8時，由（2）①已求得y=

1

2

（8-x）²=

1

2

（x-8）²，
∵y隨x的增大而減小，又當x=6時，y=2，當x=8時，y=0時，
∴0＜y＜2
令y=

1

2

（x-8）²=

1

2

，解得x₁=7，x₂=9（不合題意，舍去）
∴x=7
綜上，當x=

1

4

或x=7時，y=

1

2

．