Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，是坐標原點，正方形的頂點、分別在軸與軸上，已知正方形邊長為3，點為軸上一點，其坐標為，連接，點從點出發以每秒1個單位的速度沿折線的方向向終點運動，當點與點重合時停止運動，運動時間為秒．

（1）連接，當點在線段上運動，且滿足時，求直線的表達式；

（2）連接、，求的面積關于的函數表達式；

（3）點在運動過程中，是否存在某個位置使得為等腰三角形，若存在，直接寫出點的坐標，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，點的坐標為(，3)或(3，)或(3，)或(3，)

【解析】

（1）根據全等三角形的性質求出點P坐標，再利用待定系數法即可解決問題；
（2）分兩種情形討論，點P在線段BC上和點P在線段AB上，分別求解即可解決問題；
（3）分四種情形討論求解即可；

（1）∵點D的坐標為（1，0），

∴OD=1，

∵四邊形ABCO是正方形，且△CPO≌△ODC，
∴CP=OD=1，

∴點P的坐標為（1，3），
設直線OP的解析式為，則有，
∴直線OP的解析式為：；
（2）當點P在線段BC上時，如圖，

=CPCO=（），
當點P在線段AB上時，如圖，

BP=t-3，AP=6-t，AD=3-1=2，

（），

綜上所述，；

（3），

當DC=DP1時，作DH⊥BC于H，如圖：

∵四邊形ABCO是正方形，且DH⊥BC，

∴四邊形DHCO是矩形，

∴，

∴點的坐標為(２，3)；

當時，如圖：

，

∴點的坐標為(3，)；

當時，如圖：

，

則，

∴點的坐標為(3，)；

當時，如圖：

設，

則，

即，

解得：，

∴點的坐標為(3，)；

綜上所述，滿足條件的點P坐標為(，3)或(3，)或(3，)或(3，) ．