Question

【題目】已知矩形ABCD中，AB=8cm，BC=16cm，AC的垂直平分線EF分別交AD、BC于點E、F，垂足為O.

（1）如圖1，連接AF、CE，判斷四邊形AFCE的形狀，并說明理由；

（2）如圖2，動點P、Q分別從A、C兩點同時出發，P點沿著A→F→B→A勻速運動，Q點沿著C→D→E→C勻速運動，在運動過程中：

① 已知點P的速度為10cm/s，點Q的速度為8cm/s，運動時間為t秒，問當t為何值時，點A，C，P，Q組成的四邊形為平行四邊形？

② 點P，Q的運動路程分別為a，b（單位：cm，ab≠0），問當a，b滿足怎樣的關系式時，點A，C，P，Q組成的四邊形為平行四邊形？

Answer 1

【答案】（1）四邊形AFCE為菱形，見解析；（2）①t=s ；②a與b滿足的數量關系式是a+b=24（ab≠0）

【解析】

（1）先證明四邊形ABCD為平行四邊形，再根據對角線互相垂直平分的平行四邊形是菱形作出判定；
（2）①分情況討論可知，P點在BF上，Q點在ED上時，才能構成平行四邊形，根據平行四邊形的性質列出方程求解即可；

②分3種情況討論，分別得出a+b=24，即可得出答案．

（1）四邊形AFCE為菱形

證明：∵四邊形ABCD是矩形

∴AD∥BC

∴∠CAD=∠ACB，∠AEF=∠CFE

∵EF垂直平分AC

∴OA=OC

∴△AOE≌△COF

∴OE=OF

∴四邊形AFCE為平行四邊形

又∵EF⊥AC

∴四邊形AFCE為菱形

（2）解：①當P點在AF上時，Q點在CD上，

此時A、C、P、Q四點不可能構成平行四邊形

同理P點在AB上時，Q點在DE或CE上，也不能構成平行四邊形

因此只有當P點在BF上、Q點在ED上時，才能構成平行四邊形

∴以A、C、P、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，PC=QA，

∵點P的速度為每秒10cm，點Q的速度為每秒8cm，運動時間為t秒

∴PC=CF+FP=AF+FP=10t，QA=24﹣8t

∴10t=24﹣8t

∴t=s

②由題意得，四邊形APCO是平行四邊形時，點P、Q在互相平行的對應邊上．分三種情況：

（i）如圖1，當P點在AF上、Q點在CE上時，

AP=CQ，即a=24﹣b，得a+b=24

（ii）如圖2，當P點在BF上、Q點在DE上時，

AQ=CP，即24﹣b=a，得a+b=24

（iii）如圖3，當P點在AB上、Q點在CD上時，

AP=CQ，即24﹣a=b，得a+b=24

綜上所述，a與b滿足的數量關系式是a+b=24（ab≠0）