Question

【題目】如圖，已知正方形的邊長(zhǎng)是，，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交于點(diǎn)，是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且始終保持．

（1）求證：；

（2）求證：；

（3）當(dāng)時(shí)：

①求的值；②若是的中點(diǎn)，求的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）詳見(jiàn)解析；（3）①45；②

【解析】

（1）在正方形ABCD中，AB=AD，=90°．已知BG=DF，所以得出△ABG≌△ADF，
（2）由△ABG≌△ADF，得出∠GAB=∠FAD，從而得到∠GAF=∠GAB+∠BAF=∠FAD+∠BAF=∠BAD=90°，得出結(jié)論AG⊥AF；
（3）①由△ABG≌△ADF，AG=AF，BG=DF．得到EF=BE+DF，證出△AEG≌△AEF．所以∠EAG=∠EAF，∠EAF=∠GAF=45°，即m=45；
②若F是CD的中點(diǎn)，則DF=CF=BG=1．設(shè)BE=x，則CE=2-x,EF=EG=1+x．在Rt△CEF中，利用勾股定理得出BE的長(zhǎng)為．

解：（1）證明：如圖：

∵在正方形ABCD中，

∴AB=AD，=90°．

在中，

·

（2）證明：

（3）①解：△ABG≌△ADF，
∴AG=AF，BG=DF．
∵EF=BE+DF，
∴EF=BE+BG=EG．
∵AE=AE，
在△AEG和△AEF中．

∴△AEG≌△AEF（SSS）．
∴∠EAG=∠EAF，
∴∠EAF=∠GAF=45°，
即m=45；

②若F是CD的中點(diǎn)，則DF=CF=BG=1．
設(shè)BE=x，則CE=2-x，EF=EG=1+x．
在Rt△CEF中，CE2+CF2=EF2，即（2-x）2+12=（1+x）2，得x=

∴BE的長(zhǎng)為