Question

【題目】拋物線y=4x2﹣2ax+b與x軸相交于A(x1，0)，B(x2，0)(0＜x1＜x2)兩點.

(1)若點A(0.5，0)和點B(1.5，0)，求拋物線的表達式；

(2)三角形的內心是________的交點.在(1)的條件下，拋物線與y軸交于點C，點D在x軸上，且坐標為(-3，0)，直線l經過點C、D．在拋物線上是否存在一點P，使△DCP的內心在y軸上，若存在，求出點P的坐標，若不存在，請說明理由；

(3)是否存在整數a，b，使得1＜x1＜2和1＜x2＜2同時成立？證明你的結論．

圖1 圖2

Answer 1

【答案】（1）y=4x2－8x+3；（2）三條角平分線， P()；（3）不存在；理由見解析.

【解析】試題分析：（1）把A(0.5，0)和B(1.5，0)代入拋物線解析式，解方程組即可得到結論；

（2）三角形的內心是三條角平分線的交點．設△DCP的內心為M，由OD=OC=3，得到∠DCO=45°，∠PCO=45°，設直線PC交x軸于K，則△COK是等腰直角三角形，得到OK=OC=3，易求直線CP的解析式為y=-x+3．聯立二次函數和直線CP組成方程組，解方程組即可得到P的坐標；

(3)假設存在．由題意，建立不等式組

且1＜﹣＜2，得到4＜a＜8，

由于a是整數，故a=5 或6或7，分別代入不等式組，即可得到結論．

試題解析：解：（1）把A(0.5，0)和B(1.5，0)代入得： ，解得： ，∴拋物線的解析式為：y=4x2－8x+3；

（2）三角形的內心是三條角平分線的交點．設△DCP的內心為M，∴∠DCO=∠PCO．∵OD=OC=3，∴∠DCO=45°，∴∠PCO=45°，設直線PC交x軸于K，則△COK是等腰直角三角形，∴OK=OC=3，易求直線CP的解析式為y=-x+3．解方程組 ，得： （舍去），，∴P（， ）；

(3)不存在．理由：假設存在．由題意可知：

且1＜﹣＜2，∴4＜a＜8，

∵a是整數，∴a=5 或6或7，

當a=5時，代入不等式組，不等式組無解．

當a=6時，代入不等式組，不等式組無解．

當a=7時，代入不等式組，不等式組無解．

綜上所述：不存在整數a、b，使得1＜x1＜2和1＜x2＜2同時成立．