Question

【題目】如圖1，點A、D在y軸正半軸上，點B、C分別在x軸上，CD平分∠ACB，與y軸交于D點，∠CAO=90°-∠BDO.

（1）求證：AC=BC：

（2）如圖2，點C的坐標為（4，0），點E為AC上一點，且∠DEA=∠DBO，求BC+EC的長；

（3）如圖3，過D作DF⊥AC于F點，點H為FC上一動點，點G為OC上一動點，當H在FC上移動、點G在OC上移動時，始終滿足∠GDH=∠GDO+∠FDH，試判斷FH、GH、OG這三者之間的數量關系，寫出你的結論并加以證明.

（圖3）

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）8；（3）GH=FH+OG，證明見解析.

【解析】試題分析: （1）由題意∠CAO=90°-∠BDO，可知∠CAO=∠CBD，CD平分∠ACB與y軸交于D點，所以可由AAS定理證明△ACD≌△BCD，由全等三角形的性質可得AC=BC；

（2）過D作DN⊥AC于N點，可證明Rt△BDO≌Rt△EDN、△DOC≌△DNC，因此，BO=EN、OC=NC，所以，BC+EC=BO+OC+NC-NE=2OC，即可得BC+EC的長；

（3）在x軸的負半軸上取OM=FH，可證明△DFH≌△DOM、△HDG≌△MDG，因此，MG=GH，所以，GH=OM+OG=FH+OG，即可證明所得結論．

試題解析:

（1）證明：∵∠CAO=90°-∠BDO，

∴∠CAO=∠CBD.

又∵∠ACD=∠BCD，CD=CD，

∴△ACD≌△BCD（AAS）.

∴AC=BC.

（2）解：過D作DN⊥AC于N點，如圖所示：

∵∠ACD=∠BCD，∠DOC=∠DNC=90°，

CD=CD

∴△DOC≌△DNC（AAS），

∴DO=DN，OC=NC.

又∵∠DEA=∠DBO，∠DOB=∠DNC=90°

∴△BDO≌△EDN（AAS），

∴BO=EN.

∴BC+EC=BO+OC+NC-NE=2OC=8.

（3）GH=FH+OG.

證明：由（1）知：DF=DO，

在x軸的負半軸上取OM=FH，連接DM，

如圖所示：

在△DFH和△DOM中

∴△DFH≌△DOM（SAS）.

∴DH=DM，∠l=∠ODM.

∴∠GDH=∠1+∠2=∠ODM+∠2=∠GDM.

在△HDG和△MDG中

∴△HDG≌△MDG（SAS）.

∴MG=GH，

∴GH=OM+OG=FH+OG.

點睛: 本題主要考查了全等三角形的判定及其性質，做題時添加了輔助線，正確作出輔助線是解決問題的關鍵．