Question

如圖，已知反比例函數y=

k

2x

和一次函數y=2x-1，其中一次函數的圖象經過（a，b），（a+1，b+k）兩點．
（1）求反比例函數的解析式；
（2）如圖，已知點A在第一象限，且同時在上述兩個函數的圖象上，求點A的坐標；
（3）利用（2）的結果，請問：在x軸上是否存在點P，使△AOP為等腰三角形？若存在，把符合條件的P點坐標都求出來；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）把過一次函數的兩個點代入一次函數，即可求得k，進而求得反比例函數的解析式．
（2）同時在這兩個函數解析式上，讓這兩個函數組成方程組求解即可．
（3）應先求出OA的距離，然后根據：OA=OP，OA=AP，OP=AP，分情況討論解決．

解答：解：（1）由題意得

b=2a-1① b+k=2(a+1)-1②

②-①得k=2
∴反比例函數的解析式為y=

1

x

．

（2）由

y=2x-1 y= 1 x

，
解得

x1=1 y1=1

，

x2=- 1 2 y2=-2

．
∵點A在第一象限，
∴點A的坐標為（1，1）

（3）OA=

12+12

=

2

，OA與x軸所夾銳角為45°，
①當OA為腰時，由OA=OP₁得P₁（

2

，0），
由OA=OP₂得P₂（-

2

，0）；
由OA=AP₃得P₃（2，0）．
②當OA為底時，OP₄=AP₄得P₄（1，0）．
∴符合條件的點有4個，分別是（

2

，0），（-

2

，0），（2，0），（1，0）．

點評：本題考查的知識點為：在這條直線上的各點的坐標一定適合這條直線的解析式．同時在兩個函數解析式上，應是這兩個函數解析式的公共解．答案較多時，應有規律的去找不同的解．