Question

【題目】在△ABC中，BD，CE分別是∠ABC，∠ACB平分線，BD，CE相交于點P．

（1）如圖1，如果∠A=60°，∠ACB=90°，則∠BPC=　；

（2）如圖2，如果∠A=60°，∠ACB不是直角，請問在（1）中所得的結論是否仍然成立？若成立，請證明：若不成立，請說明理由．

（3）小月同學在完成（2）之后，發現CD、BE、BC三者之間存在著一定的數量關系，于是她在邊CB上截取了CF=CD，連接PF，可證△CDP≌△CFP，請你寫出小月同學發現，并完成她的說理過程．

Answer 1

【答案】(1) 120°； (2) 成立 (3) BC=CD+BE

【解析】

（1）先根據三角形內角和定理求出∠ABC=30，再用角平分線的意義求出∠PCB=45°，∠PBC=15°，最后用三角形的內角和定理即可得出結論；
（2）先根據角平分線的意義，求出∠ACB=2∠PCB，∠ABC=2∠PBC，再根據三角形的內角和定理求出∠ABC+∠ACB=120°，最后用三角形內角和定理即可得出結論；
（3）先判斷出△DCP≌△FCP（SAS），得出CD=CF，∠DPC=∠FPC=60°，進而判斷出∠PBF=∠PBE，即可判斷出△FPB≌△EPB，最后用等量代換即可得出結論．

解：（1）∵∠A=60°，∠ACB=90°，根據三角形內角和定理得，∠ABC=180°﹣60°﹣90°=30°，

∵BD，CE分別是∠ABC，∠ACB平分線，

∴∠PCB=∠ACB=45°，∠PBC=∠PBC=15°，

在△PBC中，根據三角形的內角和定理得，∠BPC=180°﹣∠PCB﹣∠PBC=180°﹣45°﹣15°=120°，

（2）結論仍然成立，

理由：∵BD，CE分別是∠ABC，∠ACB平分線，

∴∠ACB=2∠PCB，∠ABC=2∠PBC，

∵∠A=60°，

在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，

∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=120°，

∴2∠PCB+2∠PBC=120°，

∴∠PCB+∠PBC=60°，

在△PBC中，∠BPC+∠PCB+∠PBC=180°，

∴∠BPC=180°﹣（∠PCB+∠PBC）=180°﹣60°=120°

（3）BC=CD+BE，理由：如圖2，

由（2）知，∠BPC=120°，

∴∠DPC=∠EPB=60°，在邊CB上截取了CF=CD，連接PF，

∵CE是∠ACB的平分線，

∴∠DCP=∠FCP，

在△DCP和△FCP中，

，

∴△DCP≌△FCP（SAS），

∴CD=CF，∠DPC=∠FPC=60°，

∴∠BPC=∠BPC﹣∠FPC=60°=∠EPB，

∵BD是∠ABC的平分線，

∴∠PBF=∠PBE，

在△FPB和△EPB中，

，

∴△FPB≌△EPB，BF=BE，

∴BC=CF+BF=CD+BE．